導(dǎo)語(yǔ)：如何才能寫(xiě)好一篇高中數(shù)學(xué)隨機(jī)變量及其分布，這就需要搜集整理更多的資料和文獻(xiàn)，歡迎閱讀由公務(wù)員之家整理的十篇范文，供你借鑒。

篇1

一、高中數(shù)學(xué)新課程概率統(tǒng)計(jì)背景和地位

2003年5月出臺(tái)的《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)》提出要將概率與統(tǒng)計(jì)作為高中數(shù)學(xué)課程的必修內(nèi)容，并提出明確的要求、說(shuō)明與建議。在我國(guó)“， 概率統(tǒng)計(jì)”內(nèi)容從幾進(jìn)幾出到如今作為《標(biāo)準(zhǔn)》中的必修內(nèi)容，這既滿(mǎn)足信息時(shí)代對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)的要求，又是數(shù)學(xué)新課程發(fā)展的必然。高中必修課程由五大模塊組成“， 概率與統(tǒng)計(jì)”屬于模塊，在本模塊中，學(xué)生將在義務(wù)教育階段學(xué)習(xí)統(tǒng)計(jì)與概率的基礎(chǔ)上，通過(guò)實(shí)際問(wèn)題情境，學(xué)習(xí)隨機(jī)抽樣、樣本估計(jì)總體、線性回歸的基本方法，體會(huì)用樣本估計(jì)總體及其特征的思想；通過(guò)解決實(shí)際問(wèn)題，較為系統(tǒng)地經(jīng)歷數(shù)據(jù)收集與處理的全過(guò)程，體會(huì)統(tǒng)計(jì)思維與確定性思維的差異。學(xué)生將結(jié)合具體實(shí)例，學(xué)習(xí)概率的某些基本性質(zhì)和簡(jiǎn)單的概率模型，加深對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象的理解，能通過(guò)實(shí)驗(yàn)、計(jì)算模擬估計(jì)簡(jiǎn)單隨機(jī)事件發(fā)生的概率。通過(guò)對(duì)概率統(tǒng)計(jì)的學(xué)習(xí)，學(xué)生可以充分體會(huì)到數(shù)學(xué)與我們的日常生活是緊密相連的，這樣可以大大激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，發(fā)展數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)，開(kāi)闊學(xué)生的數(shù)學(xué)視野。雖然所講授的概率和統(tǒng)計(jì)內(nèi)容屬于簡(jiǎn)單部分，但是它為中學(xué)生提供了一個(gè)很好認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)應(yīng)用性的平臺(tái)，為學(xué)生以后進(jìn)入大學(xué)階段學(xué)習(xí)提供了一個(gè)理想的過(guò)度階段。

二、高中數(shù)學(xué)新課程“概率與統(tǒng)計(jì)”的內(nèi)容和特點(diǎn)分析

（一）統(tǒng)計(jì)部分內(nèi)容：這一部分內(nèi)容有不少于初中階段所學(xué)重復(fù)，學(xué)生學(xué)習(xí)起來(lái)較輕松，這部分內(nèi)容包括：（1）隨機(jī)抽樣 、（2）用樣本估計(jì)總體 ，體會(huì)用樣本估計(jì)總體的思想。（3）變量的相關(guān)性 ，這部分初中教學(xué)中并未涉及，要求學(xué)生利用散點(diǎn)圖，來(lái)認(rèn)識(shí)變量間的相關(guān)關(guān)系；知道最小二乘法的思想，根據(jù)公式建立線性回歸方程。

（二）概率部分內(nèi)容：：這一部分內(nèi)容在必修和選修中都有涉及，學(xué)生剛剛涉及，需要通過(guò)一些實(shí)例去理解相關(guān)概念。

（1）隨機(jī)事件的概念，頻率與概率區(qū)別與聯(lián)系

（2）隨機(jī)事件的基本事件數(shù)和事件發(fā)生的概率，互斥事件的概率加法公式，古典概型及其概率計(jì)算公式，獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)

（3）隨機(jī)數(shù)的意義，能運(yùn)用模擬方法估計(jì)概率，幾何概型

（4）學(xué)習(xí)某些離散型隨機(jī)變量分布列及其均值、方差及內(nèi)容，初步學(xué)會(huì)利用離散型隨機(jī)變量思想描述和分析某些隨機(jī)現(xiàn)象的方法。加深對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象的理解，能用隨機(jī)的觀念認(rèn)識(shí)并解釋現(xiàn)實(shí)世界；能通過(guò)實(shí)驗(yàn)、計(jì)算器 （機(jī)）模擬估計(jì)簡(jiǎn)單隨機(jī)事件發(fā)生的概率。

（5）“離散型隨機(jī)變量”與“樣本數(shù)據(jù)”存在定位上的區(qū)別?！半x散型隨機(jī)變量” 與“樣本數(shù)據(jù)” 兩者概念不能混為一談?！半x散型隨機(jī)變量”是由實(shí)驗(yàn)結(jié)果確定的，“樣本數(shù)據(jù)” 是由抽樣方式確定的，導(dǎo)致了兩者的差別。

（6）通過(guò)實(shí)例，理解所有的概念，避免過(guò)分注重形式化的傾向。

重點(diǎn)是理解“離散型隨機(jī)變量及其分布列”、“均值”、“方差”、“正態(tài)分布”的概念。

（7）“隨機(jī)觀念”貫穿于這部分內(nèi)容的始終。

首先要認(rèn)識(shí)離散型隨機(jī)變量的分布列對(duì)刻劃隨機(jī)現(xiàn)象的重要性；其次掌握超幾何分布、二項(xiàng)分布是兩個(gè)非常重要的應(yīng)用廣泛的概率模型。另外正態(tài)分布應(yīng)用更廣泛。通過(guò)這些“分布” 的學(xué)習(xí)，初步學(xué)會(huì)一種方法（即利用離散型隨機(jī)變量思想描述和分析某些隨機(jī)現(xiàn)象的方法），形成一種意識(shí)（用隨機(jī)觀念觀察分析問(wèn)題的意識(shí)）。但“方法” 和“意識(shí)”的培養(yǎng)，仍然離不開(kāi)實(shí)例。

（三）高中概率統(tǒng)計(jì)的教材特點(diǎn)分析

（1）強(qiáng)調(diào)典型案例的作用 教科書(shū)無(wú)論在背景材料、例題和閱讀與思考欄目的選材上都注意聯(lián)系實(shí)際.

（2）注重統(tǒng)計(jì)思想和計(jì)算結(jié)果的解釋

教科書(shū)中突出統(tǒng)計(jì)思想的解釋?zhuān)缭诟怕实囊饬x部分，利用概率解釋了統(tǒng)計(jì)中似然法的思想，解釋了遺傳機(jī)理中的統(tǒng)計(jì)規(guī)律.統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)中隨機(jī)模擬方法的原理就是用樣本估計(jì)總體的思想.在古典概型部分，每道例題在計(jì)算出隨機(jī)事件的概率后，都給出相應(yīng)結(jié)果的解釋或提出思考問(wèn)題讓學(xué)生做進(jìn)一步的探究.

（3）注重現(xiàn)代信息技術(shù)手段的應(yīng)用

由于概率統(tǒng)計(jì)本身的特點(diǎn)，統(tǒng)計(jì)需要分析和處理大量的數(shù)據(jù)，概率中隨機(jī)模擬方法需要產(chǎn)生大量的模擬試驗(yàn)結(jié)果，并需要分析和綜合試驗(yàn)結(jié)果，所以現(xiàn)代信息技術(shù)的使用就顯得更為必要.

三、課程標(biāo)準(zhǔn)要求的具體化和深廣度分析

1.如何提高學(xué)生對(duì)統(tǒng)計(jì)的興趣

高中階段統(tǒng)計(jì)教學(xué)應(yīng)通過(guò)案例的進(jìn)行，在對(duì)實(shí)際問(wèn)題的分析中，使學(xué)生經(jīng)歷較為系統(tǒng)的數(shù)據(jù)處理全過(guò)程，在此過(guò)程中學(xué)習(xí)一些常用的數(shù)據(jù)處理的方法，運(yùn)用所學(xué)知識(shí)、方法去解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題，體會(huì)運(yùn)用統(tǒng)計(jì)方法解決實(shí)際問(wèn)題的基本思想，認(rèn)識(shí)統(tǒng)計(jì)方法在決策中的作用以及應(yīng)用的廣泛性。同時(shí)，具體的案例也容易幫助學(xué)生理解問(wèn)題和方法的實(shí)質(zhì)。例如：對(duì)于“最小二乘法”的學(xué)習(xí)，如果直接介紹一般的最小二乘的方法，學(xué)生往往體會(huì)不到這種方法的實(shí)質(zhì)，也失去了一個(gè)分析問(wèn)題、處理數(shù)據(jù)的機(jī)會(huì)。教學(xué)中，可以通過(guò)一個(gè)學(xué)生感興趣的實(shí)例，比如學(xué)生身高和體重的關(guān)系，讓學(xué)生收集到的數(shù)據(jù)做出散點(diǎn)圖，利用散點(diǎn)圖直觀認(rèn)識(shí)到變量之間存在著線形相關(guān)關(guān)系，然后鼓勵(lì)學(xué)生自己想辦法確定一條“比較合適”的直線描述這兩個(gè)變量之間線形相關(guān)關(guān)系，在此基礎(chǔ)上再引入最小二乘法，并給出線形回歸方程。所以教師平時(shí)要細(xì)心收集生活中的素材、廣泛涉獵各學(xué)科知識(shí)，更多地發(fā)動(dòng)學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，以此積累案例開(kāi)展統(tǒng)計(jì)教學(xué)，展示統(tǒng)計(jì)的廣泛應(yīng)用。

2.如何理解“取有限值的離散隨機(jī)變量及其分布列” 的含義。

（1）通過(guò)實(shí)例比較并體會(huì)“離散型隨機(jī)變量” 與“隨機(jī)變量” 的區(qū)別。

若隨機(jī)變量X至多可以取可數(shù)個(gè)值，則稱(chēng)X為離散型隨機(jī)變量。

設(shè)X為離散型隨機(jī)變量，其可能取值為x1x2……，則

pi=P（X=xi），i=1，2，3……

完全地描述了隨機(jī)變量X的取值規(guī)律，稱(chēng)它為X的概率分布列。

例1：?jiǎn)栴}1 擲一枚均勻硬幣，以X表示一次擲幣過(guò)程中出現(xiàn)正面的次數(shù)，試求X的分布列。

思考：a、某人擲幣一次的實(shí)驗(yàn)中，可能出現(xiàn)的結(jié)果（基本事件）是什么？ b、為什么可以由0，1這2個(gè)數(shù)字表示實(shí)驗(yàn)中可能出現(xiàn)的結(jié)果？

分析：因?yàn)閷?shí)驗(yàn)中的可能出現(xiàn)的結(jié)果自然的對(duì)應(yīng)著一個(gè)實(shí)數(shù)，根據(jù)這種對(duì)應(yīng)關(guān)系，我們可以用結(jié)果對(duì)應(yīng)的數(shù)量表示它。如0表示出現(xiàn)反面，1表示出現(xiàn)正面。

例2：?jiǎn)栴}2 某林場(chǎng)樹(shù)木最高達(dá)到30米，林場(chǎng)樹(shù)木的高度η一個(gè)隨機(jī)變量。①隨機(jī)變量η可以取那些值？②問(wèn)題1中的命中環(huán)數(shù)ξ與問(wèn)題2中的樹(shù)木的高度η這兩個(gè)隨機(jī)變量取值有什么不同？

篇2

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)　選修內(nèi)容　合理性　價(jià)值

從2003年4月《高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn)稿)》正式出版發(fā)行以來(lái)，對(duì)于高中數(shù)學(xué)課程的價(jià)值的研究，大多是基于必修加選修這個(gè)總體框架的，這種研究對(duì)于課程編寫(xiě)者和大綱制定者來(lái)說(shuō)具有一定的參考價(jià)值，但是作為一線教學(xué)的教師，經(jīng)常會(huì)困惑于教學(xué)的內(nèi)容，例如，為什么要教學(xué)生框圖和算法，這部分選修內(nèi)容有什么價(jià)值。因此，有必要來(lái)研究普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中關(guān)于選修內(nèi)容的合理性及價(jià)值。

1、普通高中數(shù)學(xué)選修課的合理性分析

1.1從教學(xué)對(duì)象的角度分析普通高中數(shù)學(xué)選修課的合理性

我們經(jīng)常說(shuō)，“術(shù)業(yè)有專(zhuān)攻”。文科生和理科生在將來(lái)的學(xué)習(xí)和生活中所用的數(shù)學(xué)知識(shí)是不同的，因此，數(shù)學(xué)教育在文理科教學(xué)中應(yīng)有不同。高中數(shù)學(xué)分文科數(shù)學(xué)和理科數(shù)學(xué)，分別為文科生和理科生所修。文理之間的區(qū)別主要體現(xiàn)在數(shù)學(xué)選修內(nèi)容和要求的不同上。在系列1、系列2的課程中，有一些內(nèi)容基本相同，但要求不同，如導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用、圓錐曲線與方程、推理與證明；還有一些內(nèi)容是不同的，如系列1中安排了框圖等內(nèi)容，系列2安排了空間中的向量與立體幾何、計(jì)數(shù)原理、離散型隨機(jī)變量及其分布等內(nèi)容?！镀胀ǜ咧袛?shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》(實(shí)驗(yàn))

(以下簡(jiǎn)稱(chēng)《標(biāo)準(zhǔn)》)明確說(shuō)明，選修1是為那些希望在人文、社會(huì)科學(xué)等方面發(fā)展的學(xué)生而設(shè)置的；選修2則是為那些希望在理工、經(jīng)濟(jì)等方面發(fā)展的學(xué)生而設(shè)置的。

1.2從教材廣度分析普通高中數(shù)學(xué)選修課的合理性

可以大致地把高中數(shù)學(xué)選修課程的內(nèi)容分為兩類(lèi)：一類(lèi)內(nèi)容是必修課程的后續(xù)。例如：(必修)平面解析幾何與(選修)圓錐曲線與方程等，后續(xù)內(nèi)容是必修課內(nèi)容的補(bǔ)充或加深，可以使學(xué)生深入到了某一知識(shí)領(lǐng)域，進(jìn)一步加深學(xué)生對(duì)該知識(shí)領(lǐng)域數(shù)學(xué)思想的體會(huì)。另一類(lèi)內(nèi)容是與必修課程無(wú)直接聯(lián)系的(這里所說(shuō)的無(wú)直接聯(lián)系是指，這部分內(nèi)容的設(shè)置可以與必修課同時(shí)開(kāi)設(shè)，學(xué)生有沒(méi)有必修課程的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)和知識(shí)儲(chǔ)備，都可以學(xué)習(xí)其內(nèi)容)，例如，選修1、2模塊中的一些內(nèi)容和選修3、4的專(zhuān)題內(nèi)容。其中選修1、2模塊中的內(nèi)容是為了滿(mǎn)足學(xué)生的不同數(shù)學(xué)需求，它仍然是學(xué)生發(fā)展所需要的基礎(chǔ)性數(shù)學(xué)課程。專(zhuān)題內(nèi)容的學(xué)習(xí)有利于學(xué)生的終身發(fā)展，有利于擴(kuò)展學(xué)生的數(shù)學(xué)視野，有利于提高學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的科學(xué)價(jià)值、應(yīng)用價(jià)值、文化價(jià)值的認(rèn)識(shí)。依據(jù)《標(biāo)準(zhǔn)》來(lái)看，選修課程的安排，滿(mǎn)足了學(xué)生的不同數(shù)學(xué)需求，適應(yīng)個(gè)性選擇。

1.3從教材深度分析普通高中數(shù)學(xué)選修課的合理性

教材的深度，即《標(biāo)準(zhǔn)》中對(duì)教材內(nèi)容的要求。高中數(shù)學(xué)選修課程設(shè)計(jì)在深度上的不同體現(xiàn)在：選修1、2中有一些內(nèi)容是相同的但要求學(xué)生完成或達(dá)到的程度不同，如導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用、圓錐曲線與方程、推理與證明；選修1、2中有一些內(nèi)容是不相同的，如系列1中安排了框圖等內(nèi)容，系列2安排了空間中的向量與立體幾何、計(jì)數(shù)原理、離散型隨機(jī)變量及其分布等內(nèi)容。這樣在內(nèi)容和要求上的不同設(shè)計(jì)，不僅能使學(xué)生在高中三年有限的學(xué)習(xí)時(shí)間里，對(duì)自己感興趣的專(zhuān)業(yè)集中精力，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣、熱情等，而且勢(shì)必會(huì)使學(xué)生對(duì)所學(xué)習(xí)的知識(shí)進(jìn)一步加深理解以及在某一知識(shí)領(lǐng)域有一定程度深入地探究。

2、普通高中數(shù)學(xué)選修課的價(jià)值分析

2.1基礎(chǔ)教育的價(jià)值

必修課程與選修課程的相同價(jià)值之一就是基礎(chǔ)教育的價(jià)值，即，使學(xué)生獲得必要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能，理解基本的數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)結(jié)論的本質(zhì)，為學(xué)生進(jìn)一步的學(xué)習(xí)提供必要的數(shù)學(xué)準(zhǔn)備。

2.2實(shí)際應(yīng)用的價(jià)值

高中數(shù)學(xué)課程，不是一門(mén)技術(shù)課，它并不能直接轉(zhuǎn)化為現(xiàn)實(shí)的生產(chǎn)力，因此只能說(shuō)它體現(xiàn)了數(shù)學(xué)在實(shí)際應(yīng)用中的價(jià)值?！稑?biāo)準(zhǔn)》中指出“高中數(shù)學(xué)課程有助于學(xué)生認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，增強(qiáng)應(yīng)用意識(shí)，形成解決簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題的能力。”具體體現(xiàn)在：首先《標(biāo)準(zhǔn)》中提出“通過(guò)使利潤(rùn)最大、用料最省、效率最高等優(yōu)化問(wèn)題，體會(huì)導(dǎo)數(shù)在解決實(shí)際問(wèn)題中的作用”、“能根據(jù)具體問(wèn)題的特征，選擇分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理或分步乘法計(jì)數(shù)原理解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題”等要求。這些無(wú)不鮮明地體現(xiàn)了《標(biāo)準(zhǔn)》對(duì)數(shù)學(xué)在實(shí)際問(wèn)題中應(yīng)用的強(qiáng)調(diào)與重視。其次，設(shè)立了體現(xiàn)數(shù)學(xué)某些重要應(yīng)用的專(zhuān)題課程，如，信息安全與密碼、優(yōu)選法與試驗(yàn)設(shè)計(jì)初步、統(tǒng)籌法與圖論初步等。在選修課中重點(diǎn)介紹數(shù)學(xué)應(yīng)用的內(nèi)容，這對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)、實(shí)踐能力可以起到很好的作用。

2.3數(shù)學(xué)文化價(jià)值

高中數(shù)學(xué)選修課程中處處滲透著數(shù)學(xué)文化?！稑?biāo)準(zhǔn)》中指明：“數(shù)學(xué)探究、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)文化是貫穿于整個(gè)高中數(shù)學(xué)課程的重要內(nèi)容，這些內(nèi)容不單獨(dú)設(shè)置，滲透在每個(gè)模塊或?qū)ｎ}中”，這說(shuō)明數(shù)學(xué)的文化價(jià)值是隱含在各個(gè)模塊或?qū)ｎ}中了。除此之外，《標(biāo)準(zhǔn)》中的選修內(nèi)容在課程設(shè)計(jì)上還直接地引入了數(shù)學(xué)文化，例如，選修1、2的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用、推理與證明等內(nèi)容與要求中明確提出數(shù)學(xué)文化和選修3-1“數(shù)學(xué)史選講”。數(shù)學(xué)文化的介紹，可以使學(xué)生了解數(shù)學(xué)的發(fā)展過(guò)程及發(fā)展方向，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)及能力，數(shù)學(xué)故事又是進(jìn)行愛(ài)國(guó)主義教育很好的題材。

篇3

關(guān)鍵詞：中日韓；高考數(shù)學(xué)試題；比較分析

中圖分類(lèi)號(hào)：G639.3/.7 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1674-9324（2012）12-0158-02

通過(guò)查閱中日韓三國(guó)的高中數(shù)學(xué)課程的相關(guān)文獻(xiàn)，對(duì)中日韓三國(guó)若干年的高考數(shù)學(xué)試題的分析和研讀三國(guó)的數(shù)學(xué)高考出題原則發(fā)現(xiàn)，三國(guó)的高中數(shù)學(xué)有所不一樣，在課程的設(shè)置方面，中國(guó)的高中數(shù)學(xué)教材分必修和選修模塊；日本的高中數(shù)學(xué)設(shè)置了7個(gè)科目：《數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》、《數(shù)學(xué)Ⅰ》、《數(shù)學(xué)Ⅱ》、《數(shù)學(xué)Ⅲ》、《數(shù)學(xué)A》、《數(shù)學(xué)B》和《數(shù)學(xué)C》；韓國(guó)的高中數(shù)學(xué)教材分?jǐn)?shù)學(xué)一、數(shù)學(xué)二和選修部分，在高考數(shù)學(xué)的試題方面，三國(guó)的高考數(shù)學(xué)試題也存在比較大的差異性。本文主要從三國(guó)高考數(shù)學(xué)試題的試題形式、試題題量、試題內(nèi)容、試題背景這四個(gè)方面進(jìn)行對(duì)比分析。

一、試題形式的比較

從直觀的題目的設(shè)計(jì)形式上來(lái)看，三國(guó)的試題形式都有所不同，日本的高考試題在形式方面比較單一，以簡(jiǎn)答題的形式出題，韓國(guó)的高考試題有選擇題和簡(jiǎn)答題兩種形式，而中國(guó)的高考試題分選擇題、填空題、解答題這三大形式。在試題的設(shè)計(jì)形式上看，中國(guó)的高考試題顯得比日韓兩國(guó)的高考試題更全面和多樣化，另外在設(shè)置選擇題的備選項(xiàng)中，中國(guó)的高考試題每道選擇題設(shè)置四個(gè)選項(xiàng)，分別是A，B，C，D選項(xiàng)，而韓國(guó)的選擇題設(shè)置的是①，②，③，④，⑤五個(gè)選項(xiàng)，顯然，這樣增大了選擇的難度。通過(guò)以上高考數(shù)學(xué)試題設(shè)計(jì)形式的比較，可以看出中國(guó)高考數(shù)學(xué)試題的形式相比之下多樣化，從而可以更容易從不同的方面考查學(xué)生知識(shí)的掌握情況，選擇題考查學(xué)生對(duì)知識(shí)的再認(rèn)知的過(guò)程；填空題考查學(xué)生對(duì)知識(shí)的回憶過(guò)程；解答題考查學(xué)生對(duì)知識(shí)的應(yīng)用過(guò)程，這些不同形式選擇題、填空題、解答題從不同層次考查學(xué)生對(duì)知識(shí)的掌握情況，這樣考查面更廣、更全。

二、試題題量的比較

從高考出題的題量方面上看，中國(guó)的高考數(shù)學(xué)試題共有22道題，其中12道選擇題，4道填空題，6道解答題，總分為150，客觀題占60分，主觀題占90分，韓國(guó)出題共40道題，必做題為25道，另外為15題中選5個(gè)的選做題，共需要做30個(gè)題，總分為100分，客觀題占68分，主觀題占32分。相比中國(guó)和韓國(guó)的高考試題，日本的高考試題的題量相對(duì)較少，試題題量越少，對(duì)所學(xué)知識(shí)的考查就越不充分，所以在題量方面設(shè)計(jì)時(shí)不宜太少。

三、試題內(nèi)容的比較

關(guān)于試題內(nèi)容方面，中日韓三國(guó)的高考數(shù)學(xué)考查的內(nèi)容大部分是相同的，其中函數(shù)（對(duì)數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)）、數(shù)列（等差數(shù)列、等比數(shù)列）、排列組合、概率等都是重點(diǎn)考查的內(nèi)容，不同之處在于中國(guó)的高考數(shù)學(xué)試題沒(méi)有涉及到對(duì)矩陣、極限、正態(tài)分布、數(shù)列收斂、積分定理等的考查，在中國(guó)，概率正態(tài)分布只是作為閱讀資料，不作為高考的考試范圍，矩陣、積分定理在高中的教材也沒(méi)有出現(xiàn)，它是高等數(shù)學(xué)中的內(nèi)容。同樣極限、條件概率也是在高等數(shù)學(xué)中才重點(diǎn)學(xué)習(xí)，而以上這些內(nèi)容在日韓的高考試題中是常見(jiàn)的，另外韓國(guó)的高中數(shù)學(xué)內(nèi)容有一小部分是在中國(guó)的初中階段就已經(jīng)學(xué)習(xí)了，可見(jiàn)日韓高考試題的覆蓋范圍要比中國(guó)的高考數(shù)學(xué)的范圍大。中國(guó)高考數(shù)學(xué)的考查范圍較小，但是考查的知識(shí)點(diǎn)比較細(xì)，試題注重知識(shí)的基礎(chǔ)性，無(wú)論是函數(shù)還是立體幾何，各個(gè)知識(shí)點(diǎn)考查得比較全面，比較細(xì)致，如概念、性質(zhì)、定理等的應(yīng)用。

例如考查函數(shù)的知識(shí)，函數(shù)的定義域或是值域這些基本概念在中國(guó)是?？嫉?。

例：（中國(guó)）1.函數(shù)y=■+■的定義域?yàn)椋?？搖？搖）.

A.{x|x≥0} B.{x|x≥1}

C.{x|x≥1}∪{0} D.{x|0≤x≤1}

韓國(guó)的高考試題注重考查學(xué)生的計(jì)算能力、理解能力、推證能力、解決問(wèn)題的能力，對(duì)于計(jì)算能力的考查，通常會(huì)以指數(shù)（有理數(shù)的指數(shù)運(yùn)算）、對(duì)數(shù)的計(jì)算、矩陣的計(jì)算（矩陣的加法與乘法）、極限的計(jì)算形式出現(xiàn).例如：

1.求（log327）×8■.

①12？搖？搖？搖②10？搖？搖？搖③8？搖？搖？搖④6？搖？搖？搖⑤4

2.已知A=-1 0 0 1，B=2 13 3，求（A+B）-1.

①1？搖？搖？搖②2？搖？搖？搖③3？搖？搖？搖④4？搖？搖？搖⑤5

3.求■■.

①1 ②■ ③3 ④■ ⑤3

四、試題背景的比較

中日韓三國(guó)的國(guó)情、社會(huì)發(fā)展的不同必然會(huì)導(dǎo)致三國(guó)的高考數(shù)學(xué)的出題背景不一樣，總的來(lái)說(shuō)，中國(guó)的高考試題很多是以課本的例題、習(xí)題為變式題，通過(guò)簡(jiǎn)單的變形、延展來(lái)改編，試題與現(xiàn)實(shí)生活結(jié)合得不夠緊密.另外，每年的高考試題在題型方面幾乎都一樣，解答題一般都是考查6種題型：三角函數(shù)、立體幾何、函數(shù)與不等式、統(tǒng)計(jì)與概率、圓錐曲線、數(shù)列，所以在試題的背景方面體現(xiàn)不出新穎性.相比之下，日韓兩國(guó)的高考試題都是比較生活化的，同時(shí)也關(guān)注培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)文化素養(yǎng).下面舉例說(shuō)明此問(wèn)題.

1.對(duì)于指數(shù)與對(duì)數(shù)的考查.例（韓國(guó)）：某溶液的氫離子濃度為H■，該溶液的酸性度用pH值定義為pH=-logH■.在攝取1塊糖以后提取唾液測(cè)得的pH值為6.6.10分鐘以后再提取唾液測(cè)試氫離子濃度，其值是最初提取唾液時(shí)測(cè)得值的50倍，求此時(shí)的pH值.（其中l(wèi)og2=0.3）

①3.7？搖？搖？搖②4.0？搖？搖？搖③4.3？搖？搖？搖④4.6？搖？搖？搖⑤4.9

像以上這種結(jié)合實(shí)際生活考查對(duì)數(shù)與指數(shù)的題目，韓國(guó)的高考中經(jīng)常出現(xiàn).而在中國(guó)的高考數(shù)學(xué)試題中是沒(méi)有，中國(guó)的高考題中對(duì)指數(shù)和對(duì)數(shù)的考查只局限于老形式，沒(méi)有新情景.

例（中國(guó)）：若x1滿(mǎn)足2x+2x=5，x2滿(mǎn)足2x+2log2（x-1）=5，x1+x2=（？搖？搖）.

A.■ B.3 C.■ D.4

所以這也是中國(guó)的教育需要向韓國(guó)借鑒的.

2.在數(shù)列部分考查.例（中國(guó)）：已知等差數(shù)列{an}滿(mǎn)足a2+a4=4，a3+a5=10，則它的前10項(xiàng)的和S10（？搖？搖）.

A.138 B.135 C.95 D.23

例（日本）：數(shù)列{an}滿(mǎn)足下列條件，a1=1，a2=1，an+2=7an+1

+an（n=1，2，3…）

①請(qǐng)用數(shù)學(xué)歸納法證明a3n（n=1，2，3…）是偶數(shù).

②證明a4n（n=1，2，3…）是3的倍數(shù).

同樣是考查數(shù)列內(nèi)容，中國(guó)試題與課本上的形式基本一致，日韓的有利用數(shù)學(xué)歸納法證明的題，還有推測(cè)各項(xiàng)求數(shù)列和的題，可見(jiàn)日韓試題的載體和解答都比我國(guó)新穎.

3.再如對(duì)于概率知識(shí)的考查.中國(guó)歷年都是考查離散型隨機(jī)變量的概率分布和數(shù)學(xué)期望的概念和運(yùn)算，也有部分考題將對(duì)相互獨(dú)立事件的概率，二項(xiàng)分布或超幾何分布等概念的考查融于對(duì)隨機(jī)變量的概率分布和數(shù)學(xué)期望的考查之中.比起日韓，中國(guó)關(guān)于這部分內(nèi)容所考查的知識(shí)點(diǎn)比較全面，對(duì)基本知識(shí)的要求比較高，但是在試題的覆蓋面上和考題的類(lèi)型上，日韓的試題的覆蓋面更廣，考題類(lèi)型更多樣化，而且試題的背景更加生活情景化.

例2（韓國(guó)）：一個(gè)電視100個(gè)頻道，這個(gè)電視的遙控器的一部分如圖，這個(gè)電視顯示著50頻道，若從增加和減少的兩個(gè)按鈕中任選一個(gè)按一下，這樣一共按六次，則電視仍然顯示50頻道的概率為？（沒(méi)按一下按鈕電視會(huì)增加或減少一個(gè)頻道）

①■ ②■ ③■

④■ ⑤■

總體上來(lái)看，中國(guó)高考數(shù)學(xué)試題的表現(xiàn)形式比較規(guī)范，考查的知識(shí)點(diǎn)比較精細(xì)，強(qiáng)調(diào)雙基和運(yùn)算能力、邏輯思維能力、空間想象能力，而日韓兩國(guó)的試題更加強(qiáng)調(diào)考查學(xué)生的形象思維及理解能力、解決問(wèn)題的能力，所以在高考數(shù)學(xué)編制試題方面，日韓兩國(guó)的這些優(yōu)點(diǎn)值得中國(guó)借鑒.

參考文獻(xiàn)：

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[2]周莉莉.中日韓數(shù)學(xué)高考對(duì)比探究[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2001，（4）.

[3]劉文.日本數(shù)學(xué)課程改革的特點(diǎn)及其啟示[J].教育科學(xué)，2000，（4）.

篇4

一、復(fù)數(shù)篇

復(fù)數(shù)是歷年高考的必考內(nèi)容，以選擇、填空題為主，分值為5分左右，是送分題，近幾年的廣東高考重點(diǎn)考查了復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，在注重對(duì)基礎(chǔ)運(yùn)算考查的同時(shí)，有意識(shí)地融合復(fù)數(shù)的基本概念、復(fù)數(shù)冪的運(yùn)算的考查.

考點(diǎn)1. 復(fù)數(shù)的基本概念及基本運(yùn)算

例1. 已知復(fù)數(shù)z=（1+i）2 （i為虛數(shù)單位），則z= .

分析： 本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算、復(fù)數(shù)的模. 把復(fù)數(shù)化成標(biāo)準(zhǔn)的a+bi（a，b∈R）形式，利用z=求得.

解析：z=（1+i）2=1+2i-1=2i，z=2.

點(diǎn)評(píng)：對(duì)復(fù)數(shù)有關(guān)概念的考查主要是與復(fù)數(shù)的運(yùn)算相結(jié)合，一般為客觀題，難度小，解題關(guān)鍵是準(zhǔn)確把握有關(guān)概念，根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則準(zhǔn)確進(jìn)行簡(jiǎn)化運(yùn)算.

考點(diǎn)2. 復(fù)數(shù)的運(yùn)算幾何意義

例2. 復(fù)數(shù)z=在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第 象限

分析：本題考查復(fù)數(shù)的幾何意義，一般來(lái)說(shuō)，處理這類(lèi)問(wèn)題時(shí)一定要先將復(fù)數(shù)z化為代數(shù)形式，再利用復(fù)數(shù)的幾何意義進(jìn)行判斷.

解析：z====，所以點(diǎn)（，-）位于第四象限.

點(diǎn)評(píng)：復(fù)數(shù)的幾何意義是高考命題的一個(gè)重點(diǎn)，多結(jié)合復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算與復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在象限進(jìn)行考查，解決這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確理解復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，通過(guò)四則運(yùn)算法則準(zhǔn)確進(jìn)行化簡(jiǎn)，確定其實(shí)部與虛部.

二、導(dǎo)數(shù)篇

通過(guò)認(rèn)真研究這幾年廣東高考試題，發(fā)現(xiàn)以導(dǎo)數(shù)知識(shí)作為工具，考查函數(shù)的單調(diào)性、切線問(wèn)題、最值（極值）、恒成立問(wèn)題、零點(diǎn)（方程根）問(wèn)題等是熱點(diǎn)考點(diǎn)，?？汲Ｐ拢瑢?duì)這部分的考查，命題形式是一道大題（壓軸題）或一道選擇、填空題，分值在20分左右.

考點(diǎn)3. 求單調(diào)區(qū)間（取值范圍）

例3. 求函數(shù)y=x2-lnx的單調(diào)減區(qū)間.

分析：這是一個(gè)非初等函數(shù)，應(yīng)用定義法或復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的方法不容易求出函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間，我們不妨利用導(dǎo)數(shù)法來(lái)求可導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.

解析：由題意得函數(shù)的定義域?yàn)椋?，+∞），y′=x-，令x-=0，解得x=±1，當(dāng)x∈（-1，1）時(shí)，y′0，所以函數(shù)y=x2-lnx的單調(diào)減區(qū)間為（0，1）.

點(diǎn)評(píng)：應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的步驟是先判斷函數(shù)的定義域，然后求出導(dǎo)函數(shù)f′（x），最后分別由f′（x）>0或f′（x）

考點(diǎn)4. 求函數(shù)的最值（極值）

例4. 求函數(shù)f（x）=x3-x2+1在區(qū)間[-2，2]上的最大值與最小值.

分析：解答本題的關(guān)鍵是求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)，及使導(dǎo)函數(shù)的值為零的點(diǎn)，即求出可導(dǎo)點(diǎn)，然后判斷在可導(dǎo)點(diǎn)兩側(cè)的單調(diào)性，求出函數(shù)的極值，再與兩端的函數(shù)值比較即可.

解析：f′（x）=3x2-3x=3x（x-1），令f′（x）=0可得x=0或x=1.

列出關(guān)于x，f′（x），f（x）表格：

所以當(dāng)x=0時(shí)，f（x）取得極大值1，當(dāng)x=1時(shí)，f（x）取得極小值.

又f（-2）=-13，f（2）=3，故函數(shù)的最大值為3，最小值為-13.

點(diǎn)評(píng)：一般地，在閉區(qū)間[a，b]上的連續(xù)函數(shù)f（x）必有最大值與最小值，在開(kāi)區(qū)間（a，b）內(nèi)的連續(xù)函數(shù)不一定有最大值與最小值，若函數(shù)y=f（x）在閉區(qū)間[a，b]上單調(diào)遞增，則f（a）是最小值，f（b）是最大值;若函數(shù)y=f（x）在閉區(qū)間[a，b]上單調(diào)遞減，則f（a）是最大值，f（b）是最小值.

考點(diǎn)5. 含參不等式的恒成立問(wèn)題

例5. 若對(duì)x∈[-1，2]，不等式x3-x2-2x+t

分析：構(gòu)造函數(shù)f（x）=x3-x2-2x+t，再求出函數(shù)f（x）的最大值即可，即通過(guò)解不等式f（x）max≤t2求出t的取值范圍.

解析： f′（x）=3x2-x-2=（3x+2）（x-1），令（3x+2）（x-1）=0，得到x1=-，x2=1，當(dāng)-1

所以函數(shù)f（x）在x=-處取得極大值，為極大值為f′（-）=+t.

又f（2）=2+t，f（-1）=+t，比較可知f（2）=2+t為最大值. 要使不等式x3-x2-2x+t

點(diǎn)評(píng)：應(yīng)用導(dǎo)數(shù)解答函數(shù)的恒成立問(wèn)題的基本步驟是先求出函數(shù)的最值，再轉(zhuǎn)化成解不等式，求出參數(shù)即可.

考點(diǎn)6. 導(dǎo)數(shù)的幾何意義（切線方程）

例6. 已知函數(shù)f（x）=ln（x+1）-，求曲線y=f（x）在x=0處的切線方程.

分析：本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，關(guān)鍵是注意函數(shù)定義域及對(duì)函數(shù)正確求導(dǎo).

解析：函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?1，+∞），f′（x）=-=.

由題意，得f′（0）==-1，切點(diǎn)為（0，0），故切線方程為y=-x.

點(diǎn)評(píng)：解決此類(lèi)問(wèn)題一定要分清“在某點(diǎn)處的切線”，還是“過(guò)某點(diǎn)的切線”的問(wèn)法. 解決“過(guò)某點(diǎn)的切線”問(wèn)題，一般是設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)為P（x0，y0），然后求其切線斜率k=f（x0）， 寫(xiě)出其切線方程.而“在某點(diǎn)處的切線”就是指“某點(diǎn)”為切點(diǎn).

三、圓錐曲線篇

直線與圓錐曲線位置關(guān)系問(wèn)題是每年高考考查的熱點(diǎn).這類(lèi)問(wèn)題綜合性強(qiáng)，運(yùn)算量大，代數(shù)推理能力要求高.考查的熱點(diǎn)問(wèn)題主要有公共點(diǎn)問(wèn)題、弦長(zhǎng)問(wèn)題、中點(diǎn)弦問(wèn)題、最值問(wèn)題、定點(diǎn)（定值）問(wèn)題、對(duì)稱(chēng)問(wèn)題.題型是一道解答題和一道填空題或選擇題，分值為20分左右.

考點(diǎn)7. 公共點(diǎn)（交點(diǎn)）問(wèn)題

例7. 若直線y=kx+1（k∈R）與橢圓+=1恒有公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)t的取值范圍.

分析：公共點(diǎn)問(wèn)題可以通過(guò)利用判別式法來(lái)求解.判別式法解題的主要步驟是（1）直線方程與方程聯(lián)立，消去y或x得到關(guān)于x或y的一元二次方程;（2）借助？駐來(lái)判斷.

解析：由y=kx+1代入+=1得（5k2+t）x2+10kx+5-5t=0.

所以？駐=t-5k2-1≥0，得t≥5k2+1≥1，故t≥1且t≠5.

點(diǎn)評(píng)：判別式法是解答這類(lèi)題的通性通法.

考點(diǎn)8. 弦長(zhǎng)問(wèn)題

例8. 已知橢圓+=1的左右焦點(diǎn)分別為F1、F2，若過(guò)點(diǎn)P（0，-2）及F1的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，求AB.

分析： 弦長(zhǎng)問(wèn)題一般利用弦長(zhǎng)公式AB= x1-x2來(lái)定義來(lái)解答. 解答基本步驟是聯(lián)立直線與圓錐曲線方程消去y（或x）得到關(guān)于的一元二次方程，再利用韋達(dá)定理求解即可.

解析：令A(yù)（x1，y1），B（x2，y2），將y=-2x-2代入+y2=1可得9x2+16x+6=0. 所以x1+x2=-，x1x2=. 故AB=x1-x2==.

點(diǎn)評(píng)：本題利用了弦長(zhǎng)公式來(lái)求解，體現(xiàn)了通性通法.

考點(diǎn)9. 最值（范圍）問(wèn)題

例9. 橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，離心率為e=，橢圓上各點(diǎn)到直線l∶x-y++=0的最短距離為1，求橢圓的方程.

解析：由e=，得e2=，即=，得a2=4b2.設(shè)橢圓的方程為+=1，則其參數(shù)方程為x=2bcos？茲，y=bsin？茲. 設(shè)橢圓上一點(diǎn)P（2bcos？茲，bsin？茲），則P（2bcos？茲，bsin？茲）到直線x-y++=0的距離為d==

其中tan？漬=2. dmin= =1，解得b=1，故橢圓的方程為+y2=1.

點(diǎn)評(píng)：參數(shù)法解題的關(guān)鍵是由已知條件，建立目標(biāo)函數(shù)，結(jié)合函數(shù)的最值方法求最值.

四、常用邏輯用語(yǔ)篇

涉及常用邏輯用語(yǔ)的問(wèn)題在近幾年廣東高考中出現(xiàn)的頻率還是比較高的，一般以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，分值為5分左右.也可能是大題，如2011年高考廣東理科的21題.命題熱點(diǎn)有三個(gè)方面：一是考查充分條件與必要條件的推理判斷問(wèn)題，如2010年高考廣東卷第5題; 二是四種命題及其相互關(guān)系、含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題的真假判斷的考查，如2008年高考廣東卷，對(duì)于命題的真假判斷、給出一個(gè)命題寫(xiě)出它的其它三種命題并判斷真假仍然是考試的熱點(diǎn);三是全稱(chēng)命題與特稱(chēng)命題的真假判斷及其寫(xiě)出其否定形式.

考點(diǎn)10. 充分必要條件

例10. “m

分析：我們把“m0得到m的范圍或利用配方法及非負(fù)數(shù)的意義得到m的范圍，再借助充分、必要的含義來(lái)判斷即可.

解析：設(shè)p：“m

點(diǎn)評(píng)：充分必要條件的判定方法有定義法、集合法、等價(jià)轉(zhuǎn)換法，利用定義法判斷命題充要條件的核心就是判斷充分性及必要性是否成立.

例11. 已知命題p“？坌x∈R，x2≥0”，命題q：“若x>0，則lgx>0”則下列命題中為真命題的是（ ）

A. （ p） q B. pq C. （ p）（ q） D.（ p）（ q）

分析：先判斷命題p、命題q的真假，再結(jié)合真值表逐一判斷即可.

解析：不難判斷命題p為真命題，命題q為假命題，則 p為假命題， q為真命題，對(duì)于A， p與q為假命題，故

（ p） q 為假命題;對(duì)于B，因?yàn)閝為假命題，故pq 為假命題;對(duì)于C，因?yàn)?p為假命題，故（ p）（ q）為假命題;從而上述敘述中只有（ p）（ q） 為真命題，選D.

點(diǎn)評(píng)：本題是含有邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”“且”“非”的命題的真假性的判斷問(wèn)題，解決這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是先判斷命題p與q的真假，而pq，pq， p的形式的命題的真假性判斷的訣竅分別是一真即真、一假即假、非假即真（非真即假）.

五、計(jì)數(shù)原理與排列組合篇

計(jì)數(shù)原理與排列組合知識(shí)是歷年廣東高考的重點(diǎn)內(nèi)容之一，此類(lèi)問(wèn)題與實(shí)際聯(lián)系緊密，常與概率問(wèn)題結(jié)合起來(lái)進(jìn)行考查，以選擇、填空題為主，分值為5-10分左右，預(yù)測(cè)2015年高考對(duì)計(jì)數(shù)原理與排列組合知識(shí)的考查是穩(wěn)中求變，力求創(chuàng)新.

考點(diǎn)11. 計(jì)數(shù)原理與排列組合

例12. 為了迎接年廣州亞運(yùn)會(huì)，某大樓安裝5個(gè)彩燈，它們閃亮的順序不固定，每個(gè)彩燈閃亮只能是紅、橙、黃、綠、藍(lán)中的一種顏色，且這5個(gè)彩燈所閃亮的顏色各不相同.記這5個(gè)彩燈有序地閃亮一次為一個(gè)閃爍，在每個(gè)閃爍中，每秒鐘有且僅有一個(gè)彩燈閃亮，而相鄰兩個(gè)閃爍的時(shí)間間隔均為5秒.如果要實(shí)現(xiàn)所有不同的閃爍，那么需要的時(shí)間至少是 秒.

解析：每次閃爍時(shí)間秒，共5×120=600s每?jī)纱伍W爍之間的間隔為5s，共5×（120-1）=595s.總共就有600+595=1195s. 故需要的時(shí)間至少是1195秒.

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查計(jì)數(shù)原理的知識(shí)在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用，同時(shí)考查了考生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，讀懂題意是解決這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵，有一定的難度.

例13. 某藝校在一天的6節(jié)課中隨機(jī)安排語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、外語(yǔ)三門(mén)文化課和其他三門(mén)藝術(shù)課各1節(jié)，則在課表上的相鄰兩節(jié)文化課之間最多間隔1節(jié)藝術(shù)課的概率為 （用數(shù)字作答）.

解析：6節(jié)課共有A66種排法.語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、外語(yǔ)三門(mén)文化課中間隔1節(jié)藝術(shù)課有A33A34種排法，三門(mén)文化課中都相鄰有A33A34種排法，三門(mén)文化課中有兩門(mén)相鄰有C23C22C12C12A33，故所有的排法有2A33A34+C23A22C12C12A33，所以相鄰兩節(jié)文化課之間最多間隔1節(jié)藝術(shù)課的概率為=.

點(diǎn)評(píng)：解排列、組合混合題一般是先選元素、后排元素、或充分利用元素的性質(zhì)進(jìn)行分類(lèi)、分步，再利用兩個(gè)基本原理作最后處理.對(duì)于較難直接解決的問(wèn)題則可用間接法，但應(yīng)做到不重不漏.

六、二項(xiàng)式定理篇

二項(xiàng)式定理是近幾年廣東高考的命題熱點(diǎn)考點(diǎn)，主要有：（1）利用通項(xiàng)公式求展開(kāi)式的特定項(xiàng);（2）利用二項(xiàng)式的性質(zhì)求多項(xiàng)式的二項(xiàng)式系數(shù)和、各項(xiàng)系數(shù)和.題型為選擇題或填空題，分值為5分左右.

考點(diǎn)12. 求展開(kāi)式中項(xiàng)的系數(shù)（二項(xiàng)式系數(shù)）

例14. （x2+）6的展開(kāi)式中x3的系數(shù)為 .（用數(shù)字作答）

解析：Tr+1=Cr6（x2）6-r（）r=Cr6x12-3r，令12-3r=3得r=3，所以C36=20.即x3的系數(shù)為20.

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查二項(xiàng)式定理，熟練寫(xiě)出二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式是解決這類(lèi)問(wèn)題的常規(guī)方法，涉及系數(shù)問(wèn)題要注意分清是求二項(xiàng)式系數(shù)還是某項(xiàng)的系數(shù)，否則易出錯(cuò).

七、離散型隨機(jī)變量及其分布列、均值與方差篇

隨機(jī)變量的均值、方差的計(jì)算難度不會(huì)很大，對(duì)于一般分布可以根據(jù)均值、方差的定義直接求解，對(duì)于特殊分布（如超幾何分布、二項(xiàng)分布等），則可以利用各自的計(jì)算公式來(lái)簡(jiǎn)化運(yùn)算，高考對(duì)于這部分的 命題方式可以為選擇題、填空題、解答題，分值在5-10分左右，其中考查離散型隨機(jī)變量的均值與方差計(jì)算的 題目多出現(xiàn)在解答題中，屬于低檔題.

考點(diǎn)13. 離散型隨機(jī)變量 ？孜的分布列、均值與方差問(wèn)題

例15. 一盒中有4個(gè)正品和2個(gè)次品零件，每次取1個(gè)零件，如果取出的次品不再放回，求在取得正品前已取出的次品數(shù) ？孜的分布列、均值與方差.

分析：欲求離散型隨機(jī)變量 ？孜的均值（數(shù)學(xué)期望）與方差，必須先求出 ？孜的取值，然后利用排列、組合與概率知識(shí)求出 ？孜取各個(gè)值的概率，再求出 ？孜的概率分布列，然后再根據(jù)有關(guān)公式求 ？孜的均值（數(shù)學(xué)期望）與方差.

解析： ？孜=0，1，2，則P（ ？孜=0）=×;P（ ？孜=1）=×=;P（ ？孜=2）=××=; ？孜的分布列為：

E？孜=0×+1×+2×=，

D？孜=（0-）2×+（1-）2×+（2-）2×=.

點(diǎn)評(píng)：求隨機(jī)變量的均值與方差的關(guān)鍵是先求出它的分布列，正確理解離散型隨機(jī)變量的兩個(gè)基本特征：pi≥0（i=1，2，3…n）與p=1，它們是確定分布列中參數(shù)的依據(jù).注意理解“在取得正品前已取出的次品數(shù)”，另外我們還要注意“不再放回”與“有放回”的區(qū)別.

考點(diǎn)14. 正態(tài)分布問(wèn)題

例16. 某高三畢業(yè)班有60位考生，該班的一次英語(yǔ)聽(tīng)說(shuō)考試成績(jī)近似服從正態(tài)分布，平均分為70分，標(biāo)準(zhǔn)差為10，問(wèn)從理論上講該班成績(jī)?cè)?0～90分的人數(shù)有多少人？

分析：對(duì)正態(tài)分布問(wèn)題的關(guān)鍵是抓住兩個(gè)參數(shù)？滋，？滓 ，理解兩個(gè)參數(shù)的實(shí)際意義，再用三個(gè)基本概率值就能解決問(wèn)題.

解析：因?yàn)?？?70，？滓=10，P（60

點(diǎn)評(píng)：在解決正態(tài)分布問(wèn)題若不能熟悉特殊范圍的概率，在求解時(shí)容易出錯(cuò).

八、變量的相關(guān)性及統(tǒng)計(jì)案例篇

變量的相關(guān)性及統(tǒng)計(jì)案例在近幾年的高考中呈現(xiàn)增多的趨勢(shì)，對(duì)于回歸方程，要會(huì)根據(jù)最小二乘法求其方程，這里的關(guān)鍵是考查同學(xué)們的數(shù)據(jù)處理能力和計(jì)算能力;對(duì)于獨(dú)立性檢驗(yàn)問(wèn)題，要理解其基本思想，根據(jù)給定的數(shù)據(jù)能夠得到其2×2列聯(lián)表，然后利用K2進(jìn)行獨(dú)立性檢驗(yàn).高考對(duì)于這部分的命題方式可以為選擇題、填空題、解答題，分值在5-10分左右，其中考查2×2列聯(lián)表計(jì)算的題目多出現(xiàn)在解答題中，屬于低檔題.

例17. 為考慮廣告費(fèi)用與銷(xiāo)售額之間的關(guān)系，抽取了5家超市，得到如下數(shù)據(jù)：

現(xiàn)要使銷(xiāo)售額達(dá)到6萬(wàn)元，則所需的廣告費(fèi)用為多少元？

解析：x=7，y=41.6，xy=1697，x2i=349. 所以b==48.2，

a=41.6-48.2×7=-295.8. 故回歸直線方程為=48.2x-295.8. 當(dāng)y=6萬(wàn)元=60千元時(shí)，60≈48.2x-295.8，解得x≈7.4千元.

九、推理與證明篇

推理與證明貫穿高中數(shù)學(xué)的每一個(gè)章節(jié)，是高中數(shù)學(xué)的主要內(nèi)容，在高考中，涉及歸納推理和類(lèi)比推理的題目在僅幾年的新課標(biāo)高考中時(shí)常出現(xiàn)，考查的形式以選擇、填空題為主，分值為5分，難度中檔.

例18. 用黑白兩種顏色的正方形地磚按照下圖拼成若干圖形. 則按此規(guī)律第n（n∈N？鄢）個(gè)圖形中有白色地磚多少塊？

分析與解：我們不妨先從探討n(yōu)=1，2，3時(shí)的圖形中有多少塊白色地磚入手，從中找出它們滿(mǎn)足的具體規(guī)律，通過(guò)觀察所畫(huà)的圖形得到第1，2，3個(gè)圖形中的白色地磚分別為8、13、18塊的時(shí)候，我們還不能看出它們之間有什么規(guī)律，所以這時(shí)候需要我們將這些數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，因?yàn)?=3×3-1，13=3×5-2，18=3×7-3，從上面我們可以看到一定的規(guī)律，所以我們歸納推理得到第n（n∈N？鄢）個(gè)圖形中有白色地磚塊3×（2n+1）-n，問(wèn)題也就得到了解答.

點(diǎn)評(píng)：本題要求考生通過(guò)閱讀題目，認(rèn)真觀察已經(jīng)給出的圖形，得到數(shù)列的前幾項(xiàng)的特殊值，再將它們進(jìn)行分解，從中歸納推理數(shù)列所滿(mǎn)足的規(guī)律，從而猜想得到數(shù)列的通項(xiàng)公式.

篇5

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)；科學(xué)；量化；抽象；嚴(yán)密；應(yīng)用。

數(shù)學(xué)是什么，數(shù)學(xué)的研究對(duì)象是什么，數(shù)學(xué)有什么特點(diǎn)，對(duì)于這些問(wèn)題，一直都有討論和研究，許多學(xué)者發(fā)表了論述和觀點(diǎn)，并成為數(shù)學(xué)教育的熱門(mén)話(huà)題。確實(shí)，這些問(wèn)題都既是重要的理論問(wèn)題，也是重要的實(shí)踐問(wèn)題，對(duì)于這些問(wèn)題的不同回答，會(huì)對(duì)數(shù)學(xué)教育各個(gè)領(lǐng)域產(chǎn)生一定的影響，會(huì)影響編制怎樣的數(shù)學(xué)課程和教材，制訂怎樣的數(shù)學(xué)教學(xué)目標(biāo)，提倡怎樣的數(shù)學(xué)教學(xué)方法和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法。本文對(duì)與此相關(guān)的問(wèn)題作初步的探討。

一、數(shù)學(xué)的科學(xué)性與數(shù)學(xué)教學(xué)

1.1數(shù)學(xué)的研究對(duì)象和科學(xué)性

數(shù)學(xué)的研究對(duì)象是什么？對(duì)這個(gè)問(wèn)題，曾有各種不同的回答，也一直為我國(guó)數(shù)學(xué)教育界所重視，并加以討論研究。僅僅在莫里茲編撰的《數(shù)學(xué)家言行錄》中，就列舉了幾十種關(guān)于數(shù)學(xué)及數(shù)學(xué)本性的描述：有的認(rèn)為數(shù)學(xué)就是研究數(shù)量之間種種的度量關(guān)系，是為了發(fā)現(xiàn)表示種種數(shù)學(xué)規(guī)律的方程式；有的認(rèn)為數(shù)學(xué)僅是關(guān)于數(shù)量關(guān)系的科學(xué)；有的認(rèn)為，混合數(shù)學(xué)要研究諸如天文學(xué)、光學(xué)和力學(xué)之中的空間關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，而不包含直接經(jīng)驗(yàn)的幾何或代數(shù)等則稱(chēng)為純數(shù)學(xué)，等等。在此，我們僅考察作為幾千年數(shù)學(xué)發(fā)展結(jié)晶的傳統(tǒng)中小學(xué)數(shù)學(xué)課程的主體和基本內(nèi)容來(lái)看數(shù)學(xué)的研究對(duì)象：算術(shù)——數(shù)學(xué)中最基礎(chǔ)、最初等的部分,它研究的對(duì)象是自然數(shù)以及自然數(shù)在加、減、乘、除、乘方、開(kāi)方運(yùn)算中的性質(zhì)、法則，在社會(huì)實(shí)踐中有極廣泛的應(yīng)用；初等代數(shù)——主要包括有理數(shù)、實(shí)數(shù)及其運(yùn)算，整式、分式和根式的運(yùn)算和變形，解方程、方程組和不等式，以及指數(shù)、對(duì)數(shù)運(yùn)算，排列組合、二項(xiàng)式定理等；初等幾何——研究直線、圓、平面等基本圖形的形狀、大小和相關(guān)位置關(guān)系；三角學(xué)——以三角形的邊角關(guān)系為基礎(chǔ)，研究幾何圖形中的數(shù)量關(guān)系及其在測(cè)量方面的應(yīng)用，并研究三角函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用的數(shù)學(xué)分支，中學(xué)數(shù)學(xué)主要學(xué)習(xí)其中與平面三角形相聯(lián)系的部分，即平面三角學(xué)；解析幾何——借助于坐標(biāo)系用代數(shù)方法來(lái)研究一些簡(jiǎn)單幾何圖形，例如直線、二次曲線、平面和二次曲面等的一門(mén)學(xué)科，被分為平面解析幾何與空間解析幾何兩個(gè)部分，中學(xué)數(shù)學(xué)以平面解析幾何為主要內(nèi)容。微積分學(xué)——是建立在實(shí)數(shù)、函數(shù)和極限等概念基礎(chǔ)上研究函數(shù)的微分、積分及有關(guān)概念和應(yīng)用的數(shù)學(xué)分支；概率論——研究隨機(jī)現(xiàn)象的數(shù)量規(guī)律；統(tǒng)計(jì)學(xué)——研究怎樣去有效地收集、整理和分析帶有隨機(jī)性的數(shù)據(jù)，以對(duì)所考察的問(wèn)題作出推斷和預(yù)測(cè)，直至為采取一定的決策和行動(dòng)提供依據(jù)和建議。中小學(xué)數(shù)學(xué)課程雖然與現(xiàn)代數(shù)學(xué)科學(xué)前沿有很大的距離，但卻是現(xiàn)代數(shù)學(xué)科學(xué)的基礎(chǔ)?！皵?shù)學(xué)研究的對(duì)象是現(xiàn)實(shí)世界中的數(shù)量關(guān)系和空間形式。數(shù)與形，這兩個(gè)基本概念是整個(gè)數(shù)學(xué)的兩大柱石。整個(gè)數(shù)學(xué)就是圍繞著這兩個(gè)概念的提煉、演變與發(fā)展而發(fā)展的。數(shù)學(xué)在各個(gè)領(lǐng)域中千變?nèi)f化的應(yīng)用也是通過(guò)這兩個(gè)概念而進(jìn)行的。社會(huì)的不斷發(fā)展，生產(chǎn)的不斷提高，為數(shù)學(xué)提供了無(wú)窮源泉與新穎課題，促使數(shù)與形的概念不斷深化，由此推動(dòng)了數(shù)學(xué)的不斷前進(jìn)，在數(shù)學(xué)中形成了形形式式、多種多樣的分支學(xué)科。這不僅使數(shù)學(xué)這一學(xué)科日益壯大，蔚為大成，而且使數(shù)學(xué)的應(yīng)用也越來(lái)越廣泛與深入了。”⑴這里，吳文俊院士論述了數(shù)學(xué)的基本對(duì)象，同時(shí)也分析了數(shù)學(xué)的發(fā)展，很重要的是指出應(yīng)該從發(fā)展的觀點(diǎn)來(lái)認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的研究對(duì)象——數(shù)與形。

為什么說(shuō)數(shù)學(xué)是一門(mén)科學(xué)？這就必須弄清科學(xué)的概念?？茖W(xué)概念有以下的幾層涵義：(1)科學(xué)是人類(lèi)對(duì)客觀世界的認(rèn)識(shí)，是反映客觀事實(shí)和規(guī)律的知識(shí)，它指出了自然界和社會(huì)現(xiàn)象間必然、本質(zhì)、穩(wěn)定和在一定條件下反復(fù)出現(xiàn)的內(nèi)在聯(lián)系，科學(xué)具有客觀真理性；(2)科學(xué)是反映客觀事實(shí)和規(guī)律的知識(shí)體系，知識(shí)單元的內(nèi)在邏輯特征和知識(shí)單元間的本質(zhì)聯(lián)系清楚了，建立起了一個(gè)完整的知識(shí)體系時(shí)才可以稱(chēng)為科學(xué)，因而科學(xué)具有系統(tǒng)性。只是點(diǎn)點(diǎn)滴滴、互不聯(lián)系的知識(shí)還算不上科學(xué)；(3)科學(xué)是一項(xiàng)反映客觀事實(shí)和規(guī)律的知識(shí)體系相關(guān)活動(dòng)的事業(yè)，在人類(lèi)實(shí)踐活動(dòng)中起著重大作用。數(shù)學(xué)就是一門(mén)科學(xué)。(1)數(shù)學(xué)的概念、定理、公式、法則都源于客觀現(xiàn)實(shí)世界，正確反映了客觀世界在數(shù)與形方面的規(guī)律性，數(shù)學(xué)結(jié)論經(jīng)歷了千錘百煉，被證明是經(jīng)受了人類(lèi)長(zhǎng)期實(shí)踐檢驗(yàn)的客觀真理；(2)數(shù)學(xué)已經(jīng)建立了嚴(yán)密的科學(xué)體系，就整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)科而言，可以分為若干分支學(xué)科，數(shù)學(xué)理論的建立在邏輯上具有嚴(yán)密性，數(shù)學(xué)結(jié)論具有清楚性、確定性，不容半點(diǎn)疏忽馬虎；(3)數(shù)學(xué)理論在實(shí)踐活動(dòng)中得到廣泛應(yīng)用，并在實(shí)踐活動(dòng)中不斷豐富、發(fā)展。

1．2數(shù)學(xué)作為一門(mén)科學(xué)的教學(xué)

數(shù)學(xué)教學(xué)一個(gè)很重要的方面是應(yīng)該強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)教學(xué)是一門(mén)科學(xué)的教學(xué)。從這樣角度思考問(wèn)題，作為一門(mén)科學(xué)的教學(xué)，就要求我們?cè)跀?shù)學(xué)教學(xué)中重視揭示數(shù)學(xué)與客觀現(xiàn)實(shí)的密切聯(lián)系,揭示數(shù)學(xué)結(jié)論的真理性和真實(shí)性，揭示數(shù)學(xué)理論是怎樣從現(xiàn)實(shí)世界中得到并不斷發(fā)展；作為一門(mén)科學(xué)的教學(xué)，數(shù)學(xué)教學(xué)就必須重視數(shù)學(xué)知識(shí)體系的系統(tǒng)性與邏輯性；作為一門(mén)科學(xué)的教學(xué)，就必須重視數(shù)學(xué)在實(shí)踐中巨大作用的教學(xué)，并重視數(shù)學(xué)探究活動(dòng)過(guò)程的教學(xué)。下面著重就中學(xué)數(shù)學(xué)課程系統(tǒng)性問(wèn)題作一探討。

我國(guó)中學(xué)數(shù)學(xué)教育一直比較重視數(shù)學(xué)課程的系統(tǒng)性，根據(jù)一些重要的數(shù)學(xué)教學(xué)調(diào)查和國(guó)際數(shù)學(xué)教育比較的結(jié)論，長(zhǎng)期以來(lái)我國(guó)中小學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)好的主要原因中首先就是我國(guó)中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的系統(tǒng)性較強(qiáng)⑵。怎樣使我國(guó)中學(xué)數(shù)學(xué)課程更加具有系統(tǒng)性，是我國(guó)中學(xué)數(shù)學(xué)教育應(yīng)該研究的一個(gè)重要問(wèn)題。數(shù)學(xué)各個(gè)分支學(xué)科之間有廣泛的聯(lián)系，并具有學(xué)科內(nèi)在統(tǒng)一性，但不可否認(rèn)，數(shù)學(xué)不同分支具有各自不同的研究對(duì)象、各自的分支體系。高等學(xué)校數(shù)學(xué)系的數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)課程總是按照學(xué)科分支課程的形式呈現(xiàn)。初等數(shù)學(xué)中不同學(xué)科分支也具有一定的系統(tǒng)性，我國(guó)數(shù)學(xué)教育實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)告訴我們，數(shù)學(xué)內(nèi)容以分科形式呈現(xiàn)能夠比較清楚地把蘊(yùn)涵的思想方法表達(dá)出來(lái)，學(xué)生也容易比較系統(tǒng)、深刻地學(xué)到數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)基本技能和其中蘊(yùn)含的思想方法，更好地加以掌握和運(yùn)用?；仡櫸覈?guó)數(shù)學(xué)教育的歷史，為我國(guó)中學(xué)數(shù)學(xué)教育界稱(chēng)道的一些中學(xué)數(shù)學(xué)教材也多釆取分科教學(xué)，并達(dá)到了較高的教學(xué)水平。良好的學(xué)科課程體系結(jié)構(gòu)是學(xué)生有良好認(rèn)知結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)。目前，高中數(shù)學(xué)新課程的實(shí)施給我國(guó)的高中數(shù)學(xué)教學(xué)帶來(lái)了許多可喜的變化，高中數(shù)學(xué)課程大大拓寬了中學(xué)數(shù)學(xué)視野，教材內(nèi)容的廣度和深度都有了極大改觀，一些傳統(tǒng)內(nèi)容的處理讓人看到新的理念，高中數(shù)學(xué)課程釆用了模塊化的結(jié)構(gòu)設(shè)置，使教學(xué)更加具有靈活性。但另一方面，由于每個(gè)模塊課時(shí)的確定性，使教學(xué)內(nèi)容的選擇與安排受到模塊課時(shí)的限制，導(dǎo)致某些聯(lián)系很密切的教學(xué)內(nèi)容被安排到了不同的模塊，而同一模塊中教學(xué)內(nèi)容又未必聯(lián)系很密切，教學(xué)安排的邏輯脈絡(luò)不夠清楚，對(duì)于不同必修模塊的教學(xué)順序不作規(guī)定，就使實(shí)際教學(xué)產(chǎn)生一些困難，目前，對(duì)于這個(gè)問(wèn)題老師們作了大量的研究，但仍沒(méi)有太好的辦法。根據(jù)教材試驗(yàn)，教材的模塊化設(shè)計(jì)(尤其是必修模塊仍用模塊化設(shè)計(jì)的必要性問(wèn)題)和系統(tǒng)性問(wèn)題成為老師們研究最多、反映較多、意見(jiàn)也較多的一個(gè)問(wèn)題，某些教學(xué)內(nèi)容結(jié)構(gòu)體系的變化導(dǎo)致了學(xué)生相關(guān)數(shù)學(xué)能力的下降。例如，相當(dāng)數(shù)量的老師認(rèn)為立體幾何中點(diǎn)線面的空間基本關(guān)系應(yīng)該先講，幾何體的體積、面積計(jì)算問(wèn)題應(yīng)該移到立體幾何的后部，有些老師對(duì)于立體幾何的有關(guān)直線、平面位置關(guān)系的教學(xué)順序作了調(diào)整，老師們希望教材更加有系統(tǒng)性。

中學(xué)數(shù)學(xué)傳統(tǒng)教學(xué)內(nèi)容中如初等代數(shù)（含三角函數(shù)）、立體幾何、解析幾何和概率統(tǒng)計(jì)的基礎(chǔ)知識(shí)是高中學(xué)生應(yīng)該掌握的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)，這些內(nèi)容應(yīng)該作為高中數(shù)學(xué)的必修內(nèi)容，按這些內(nèi)容本身的邏輯體系安排這些學(xué)科分支的教材內(nèi)容，并應(yīng)考慮教學(xué)內(nèi)容之間的互相聯(lián)系，而必修內(nèi)容則不必再設(shè)置模塊，而是按照過(guò)去大綱教材一樣按學(xué)期確定教學(xué)內(nèi)容。在確定了必修內(nèi)容以后的其他內(nèi)容，如微積分的初步知識(shí)及目前的一些選修模塊的教學(xué)內(nèi)容，則可作為選修課程。這樣，既保證了課程的靈活性和選擇性，又兼顧了數(shù)學(xué)課程的必要的邏輯性和系統(tǒng)性，而教學(xué)內(nèi)容的學(xué)分可根據(jù)相應(yīng)教學(xué)內(nèi)容的分量等因素加以確定。應(yīng)該充分考慮數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容之間的內(nèi)在邏輯和聯(lián)系，構(gòu)建合理的知識(shí)體系，要充分考慮繼承經(jīng)過(guò)長(zhǎng)時(shí)間教學(xué)試驗(yàn)的、已經(jīng)比較成熟的體系結(jié)構(gòu)。目前高中數(shù)學(xué)新課程試驗(yàn)中老師們?cè)趯?shí)際教學(xué)中對(duì)各部分內(nèi)容的教學(xué)順序作了許多研究，并作了部分調(diào)整(在一定程度上參考了傳統(tǒng)的教學(xué)內(nèi)容安排順序)。例如一些教學(xué)對(duì)比實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，教學(xué)安排先講映射后講函數(shù)，學(xué)生對(duì)函數(shù)概念的理解要好一些，這說(shuō)明概念的不同安排順序必然會(huì)對(duì)學(xué)生掌握有關(guān)概念產(chǎn)生影響。當(dāng)然，在對(duì)于內(nèi)容體系結(jié)構(gòu)作慎重選擇后，對(duì)于內(nèi)容的呈現(xiàn)還必須符合時(shí)展需要。

作為一門(mén)科學(xué)的教學(xué)，數(shù)學(xué)教學(xué)必須重視數(shù)學(xué)基本概念的教學(xué)，因?yàn)閿?shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)理論的基本組成部分。要掌握數(shù)學(xué)理論，首先要弄清基本概念。對(duì)概念定義的敘述要釆取慎重的態(tài)度，如果沒(méi)有充分的理由和實(shí)質(zhì)性的改進(jìn)，則不宜更新表述，而應(yīng)該考慮我國(guó)數(shù)學(xué)教學(xué)傳統(tǒng)的因素，避免引起不必要的混亂。另外，應(yīng)該注意概念體系的完整性。在新高中數(shù)學(xué)課程的試驗(yàn)中，有相當(dāng)比例的老師反映，新課標(biāo)實(shí)驗(yàn)教材中反函數(shù)概念講得不夠完整，應(yīng)該完整講述反函數(shù)的定義域、值域、對(duì)應(yīng)關(guān)系等，現(xiàn)在概念沒(méi)有講清，學(xué)生就常對(duì)于概念提出許多問(wèn)題。另外，傳統(tǒng)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中反三角函數(shù)的最基本的內(nèi)容，包括基本的概念和性質(zhì)、定理、公式仍是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)，也仍應(yīng)該列入中學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)內(nèi)容。要掌握數(shù)學(xué)理論，首先要弄清基本概念。中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中以下的概念是極其重要的：集合、映射、運(yùn)算、函數(shù)、方程、向量、概率、抽樣、統(tǒng)計(jì)、概率，復(fù)數(shù)、導(dǎo)數(shù)、積分、極限，等等。作為一門(mén)科學(xué)的教學(xué)，數(shù)學(xué)教學(xué)還必須重視數(shù)學(xué)科學(xué)中豐富蘊(yùn)涵的科學(xué)思想和方法（其中某些一般科學(xué)方法），包括抽象、公理化、演繹、歸納、符號(hào)、算法、數(shù)形結(jié)合、坐標(biāo)、變換、優(yōu)化、統(tǒng)計(jì)、隨機(jī)，等等。

1．3量化思想

從數(shù)量關(guān)系角度來(lái)研究事物，使我們對(duì)于事物有數(shù)量上的把握，這就是基本的數(shù)量意識(shí)。量是事物存在和發(fā)展的規(guī)模、程度、速度，以及事物構(gòu)成因素在空間上的排列等可以用數(shù)量表示的規(guī)定性。例如，物體的大小、質(zhì)量的疏密、運(yùn)動(dòng)的快慢、溫度的高低、顏色的深淺、物體的排列順序、生產(chǎn)力的發(fā)展水平和配置等等，都是事物的量的規(guī)定性。質(zhì)是和量相對(duì)應(yīng)的一個(gè)基本范疇，任何事物都是質(zhì)和量?jī)煞矫娴慕y(tǒng)一。數(shù)學(xué)研究的一個(gè)重要方面就是現(xiàn)實(shí)世界的數(shù)量關(guān)系，凡是要研究量、量的關(guān)系、量的變化，量的關(guān)系的變化、量的變化的關(guān)系，就少不了數(shù)學(xué)。不僅如此，量的變化還有變化（如導(dǎo)數(shù)以及導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)），變化仍用量刻畫(huà)。對(duì)于客觀世界的描述大致可以分為定性的描述和定量的描述，而定性描述與定量描述又密不可分。數(shù)學(xué)研究的最基本的問(wèn)題是現(xiàn)實(shí)世界客觀存在的事物的多與少、大與小、位置及位置的變化、可能性大小，等等，這樣就產(chǎn)生了數(shù)以及表示數(shù)的字母，刻畫(huà)位置的坐標(biāo)，刻畫(huà)可能性的概率，以及進(jìn)一步的方程、不等式、函數(shù)、曲線的方程和方程的曲線、隨機(jī)變量及其概率的分布、分布的函數(shù)，等等。解析幾何的基本思想是引入坐標(biāo)系從而借助于坐標(biāo)對(duì)于幾何對(duì)象作定量的研究，概率論則首先引入隨機(jī)變量，借助于隨機(jī)變量對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象作量化的處理，從而達(dá)到對(duì)于隨機(jī)現(xiàn)象的研究。數(shù)學(xué)總是從量的方面來(lái)描述客觀世界的，把客觀事物進(jìn)行量化的描述是數(shù)學(xué)的基本任務(wù)。所以，新高中數(shù)學(xué)課程提出了量化思想，這應(yīng)該作為一種重要數(shù)學(xué)思想在教學(xué)中加以認(rèn)識(shí)和重視。

二、數(shù)學(xué)科學(xué)的特點(diǎn)與中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)

一般認(rèn)為，數(shù)學(xué)科學(xué)具有三個(gè)顯著特點(diǎn)，這就是抽象性，邏輯嚴(yán)密性，應(yīng)用廣泛性。數(shù)學(xué)的以上三個(gè)特點(diǎn)是互相聯(lián)系，互相影響，密不可分的，認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的以上特點(diǎn)，并注意在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中正確把握好數(shù)學(xué)的特點(diǎn)，具有重要意義。

2.1抽象性

所謂抽象就是在思想中分出事物的一些屬性和聯(lián)系而撇開(kāi)另一些屬性和聯(lián)系的過(guò)程。抽象有助于我們撇開(kāi)各種次要的影響，抽取事物的主要的、本質(zhì)的特征并在“純粹的”形式中單獨(dú)地考察它們，從而確定這些事物的發(fā)展規(guī)律。數(shù)學(xué)以高度抽象的形式出現(xiàn)，首先是其研究的基本對(duì)象的高度抽象性。數(shù)學(xué)抽象最早發(fā)生于一些最基本概念的形成過(guò)程中，恩格斯對(duì)此作了極其精辟地論述：“數(shù)和形的概念不是從其他任何地方，而是從現(xiàn)實(shí)世界中得到來(lái)的。人們用來(lái)學(xué)習(xí)計(jì)數(shù)，也就是作第一次算術(shù)運(yùn)算的十個(gè)指頭，可以是任何別的東西，但總不是知性的自由創(chuàng)造物。為了計(jì)數(shù)，不僅要有可以要有可以計(jì)數(shù)的對(duì)象，而且還要有一種在考察對(duì)象時(shí)撇開(kāi)它們的數(shù)以外的其他一切特性的能力，而這種能力是長(zhǎng)期以經(jīng)驗(yàn)為依據(jù)的歷史發(fā)展的結(jié)果。和數(shù)的概念一樣，形的概念也完全是從外部世界得來(lái)的，而不是從頭腦中由純粹的思維產(chǎn)生出來(lái)的。必須先存在具有一定形狀的物體，把這些形狀加以比較，然后才能構(gòu)成形的概念。純數(shù)學(xué)是以現(xiàn)實(shí)世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系，也就是說(shuō)，以非?，F(xiàn)實(shí)的材料為對(duì)象的。這種材料以極度抽象的形式出現(xiàn)，這只能在表面上掩蓋它來(lái)源于外部世界。但是，為了對(duì)這些形式和關(guān)系能從它們的純粹形態(tài)來(lái)加以研究，必須使它們完全脫離自己的內(nèi)容，把內(nèi)容作為無(wú)關(guān)緊要的東西放在一邊；這樣就得到?jīng)]有長(zhǎng)寬高的點(diǎn)，沒(méi)有厚度和寬度的線，a和b與x和y，常數(shù)和變數(shù)；只是在最后才得到知性自身的自由創(chuàng)造物和想象物，即虛數(shù)?！雹菙?shù)的概念，點(diǎn)、線、面等幾何圖形的概念屬于最原始的數(shù)學(xué)概念。在原始概念的基礎(chǔ)上又形成有理數(shù)、無(wú)理數(shù)、復(fù)數(shù)、函數(shù)、微分、積分、n維空間以至無(wú)窮維空間這樣一些抽象程度更高的概念。從數(shù)學(xué)研究的問(wèn)題來(lái)看，數(shù)學(xué)研究的問(wèn)題的原始素材可以來(lái)自任何領(lǐng)域，著眼點(diǎn)不是素材的內(nèi)容而是素材的形式，不相干的事物在量的側(cè)面，形的側(cè)面可以呈現(xiàn)類(lèi)似的模式，比如代數(shù)的演算可以描述邏輯的推理以至計(jì)算機(jī)的運(yùn)行；流體力學(xué)的方程也可能出現(xiàn)在金融領(lǐng)域，數(shù)學(xué)強(qiáng)大的生命力就在于能夠把一個(gè)領(lǐng)域的思想經(jīng)過(guò)抽象過(guò)程的提煉而轉(zhuǎn)移到別的領(lǐng)域，純數(shù)學(xué)的研究成果常常能在意想不到的地方開(kāi)花結(jié)果。有些外國(guó)數(shù)學(xué)家由于數(shù)學(xué)研究對(duì)象的抽象性，就認(rèn)為數(shù)學(xué)是不知其所云為何物，這種認(rèn)識(shí)是不妥的。

數(shù)學(xué)科學(xué)的高度抽象性，決定數(shù)學(xué)教育應(yīng)該把發(fā)展學(xué)生的抽象思維能力規(guī)定為其目標(biāo)。從具體事物抽象出數(shù)量關(guān)系和空間形式，把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題的科學(xué)抽象過(guò)程中，可以培養(yǎng)學(xué)生的抽象能力。

在培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維能力的過(guò)程中，應(yīng)該注意從現(xiàn)實(shí)實(shí)際事物中抽象出數(shù)學(xué)概念的提煉過(guò)程的教學(xué)，又要注意不使數(shù)學(xué)概念陷入某一具體原型的探討糾纏。例如，對(duì)于直線概念，就要從學(xué)生常見(jiàn)并可以理解的實(shí)際背景，如拉緊的線，筆直的樹(shù)干和電線桿等事物中抽象出這個(gè)概念，說(shuō)明直線概念是從許多實(shí)際原型中抽象出來(lái)的一個(gè)數(shù)學(xué)概念，但不要使這個(gè)概念的教學(xué)變成對(duì)直線的某一具體背景的探討。光是直線的一個(gè)重要實(shí)際原型，但如果對(duì)于直線概念的教學(xué)陷入到對(duì)于光的概念的探究，就會(huì)導(dǎo)致對(duì)直線概念糾緾不清。光的概念涉及了大量數(shù)學(xué)和物理的問(wèn)題，牽涉了近現(xiàn)代幾何學(xué)與物理學(xué)的概念，其中包括對(duì)歐幾里得幾何第五公設(shè)的漫長(zhǎng)研究歷史，非歐幾何的產(chǎn)生，以及光學(xué)，電磁學(xué)，時(shí)間，空間，從牛頓力學(xué)的絕對(duì)時(shí)空觀，到愛(ài)因斯坦的狹義相對(duì)論和廣義相對(duì)論，等等。試圖從光的實(shí)際背景角度去講直線的概念，陷入對(duì)于光的本質(zhì)的討論，就使直線的概念教學(xué)走入歧途。應(yīng)該清楚，光不是直線唯一的實(shí)際原型，直線的實(shí)際原型是極其豐富的。

在培養(yǎng)中學(xué)生的抽象思維能力方面，要注意的一個(gè)問(wèn)題是應(yīng)根據(jù)中學(xué)生的年齡心理特點(diǎn)，對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的抽象程度有所控制，過(guò)度抽象的內(nèi)容對(duì)普通中學(xué)生來(lái)說(shuō)是不適宜的(如某些近代數(shù)學(xué)的概念)。另外，對(duì)于抽象概念的學(xué)習(xí)應(yīng)該以抽象概念借以建立起來(lái)的大量具體概念作為前提和基礎(chǔ)，否則，具體知識(shí)準(zhǔn)備不夠，抽象概念就成為一個(gè)實(shí)際內(nèi)容不多的空洞的事物，學(xué)生對(duì)于學(xué)習(xí)這樣的抽象概念的重要性和必要性就會(huì)認(rèn)識(shí)不足。

2.2嚴(yán)密性

所謂數(shù)學(xué)的嚴(yán)密性，就是要求對(duì)于任何數(shù)學(xué)結(jié)論，必須嚴(yán)格按照正確的推理規(guī)則，根據(jù)數(shù)學(xué)中已經(jīng)證明和確認(rèn)的正確的結(jié)論(公理、定理、定律、法則、公式等)，經(jīng)過(guò)邏輯推理得到。這就要求得到的結(jié)論不能有絲毫的主觀臆斷性和片面性。數(shù)學(xué)的嚴(yán)密性與數(shù)學(xué)的抽象性有緊密的聯(lián)系，正因?yàn)閿?shù)學(xué)有高度的抽象性，所以它的結(jié)論是否正確，就不能像物理、化學(xué)等學(xué)科那樣，對(duì)于一些結(jié)論可以用實(shí)驗(yàn)來(lái)加以確認(rèn)，而是依靠嚴(yán)格的推理來(lái)證明；而且一旦由推理證明了結(jié)論，這個(gè)結(jié)論也就是正確的。

數(shù)學(xué)科學(xué)具有普遍的嚴(yán)格邏輯性特點(diǎn)，而在數(shù)學(xué)發(fā)展歷史中則有許多非常典型的例子。例如，對(duì)于無(wú)限概念逐步深入的認(rèn)識(shí)，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派對(duì)于無(wú)理數(shù)的發(fā)現(xiàn)，牛頓、萊布尼茲的微積分及其嚴(yán)格化，處處連續(xù)卻處處不可導(dǎo)的函數(shù)的構(gòu)造，集合論悖論的構(gòu)造，都很好地說(shuō)明了數(shù)學(xué)的這種嚴(yán)格的風(fēng)格和精神。

數(shù)學(xué)中嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评硎沟妹恳粋€(gè)數(shù)學(xué)結(jié)論不可動(dòng)搖。數(shù)學(xué)的嚴(yán)格性是數(shù)學(xué)作為一門(mén)科學(xué)的要求和保證，數(shù)學(xué)中的嚴(yán)格推理方法是廣泛需要并有廣泛應(yīng)用的。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，不僅學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)結(jié)論，也強(qiáng)調(diào)讓學(xué)生理解數(shù)學(xué)結(jié)論，知道數(shù)學(xué)結(jié)論是怎么證明的，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)科學(xué)的方法，包括其中豐富蕰涵的嚴(yán)格推理方法以及其他的思維方法。如果數(shù)學(xué)教學(xué)對(duì)于一些重要結(jié)論不講證明過(guò)程，就使教學(xué)價(jià)值大為降低。學(xué)生也常常因?yàn)閷?duì)于一些重要而基本的數(shù)學(xué)結(jié)論的理解產(chǎn)生困難而不能及時(shí)得到教師的指導(dǎo)解惑而對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)失去興趣和信心。根據(jù)對(duì)于新高中數(shù)學(xué)課程教學(xué)的一些調(diào)查，新教材中對(duì)于某些公式的推導(dǎo)，某些內(nèi)容的講解方面過(guò)于簡(jiǎn)單，不能滿(mǎn)足同學(xué)的學(xué)習(xí)要求，特別典型的立體幾何中的一些關(guān)系判定定理只給出結(jié)論，不給出證明，方法上采用了實(shí)驗(yàn)科學(xué)驗(yàn)證實(shí)驗(yàn)結(jié)論的方法進(jìn)行操作確認(rèn)，就與數(shù)學(xué)科學(xué)的精神和方法不一致，老師們的意見(jiàn)比較大，是目前數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐面臨的一個(gè)問(wèn)題。數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)重要目標(biāo)是教學(xué)生思維的過(guò)程與方法，讓學(xué)生充分認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)結(jié)論的真理性、科學(xué)性，發(fā)展嚴(yán)密的邏輯思維能力。

嚴(yán)密性程度的教學(xué)把握當(dāng)然應(yīng)該貫徹因材施教的原則，根據(jù)學(xué)生和教學(xué)實(shí)際作調(diào)適，數(shù)學(xué)教材（包括在教師教學(xué)用書(shū)中）可提供嚴(yán)密程度不同的教學(xué)方案，備作選擇和參考。例如，對(duì)于平面幾何中的平行線分線段成比例定理，在實(shí)際教學(xué)中就可以根據(jù)教學(xué)實(shí)際情況采用三種不同的教學(xué)方案，第一種是初中數(shù)學(xué)教材(如人民教育出版社中學(xué)數(shù)學(xué)室編寫(xiě)的<<九年義務(wù)教育三年制初級(jí)中學(xué)教科書(shū)幾何第二冊(cè)>>)普遍采用的，即從特殊的情形作說(shuō)理，不加證明把結(jié)論推廣到一般情形；第二種是用面積方法來(lái)得到定理的證明(如人民教育出版社中學(xué)數(shù)學(xué)室編寫(xiě)的<<義務(wù)教育初中數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課本幾何第二冊(cè)>>的證明方法)；第三種則分別就比值是有理數(shù)、無(wú)理數(shù)的不同情況來(lái)加以證明，是嚴(yán)密性要求較高，對(duì)學(xué)生的思維能力要求也較高的一種教學(xué)方案(如前蘇聯(lián)的某些初中數(shù)學(xué)教材的教學(xué)要求)?？梢钥隙?，長(zhǎng)期不同程度的教學(xué)要求的差異也自然導(dǎo)致學(xué)生數(shù)學(xué)能力的較大差異。從培養(yǎng)人才的角度認(rèn)識(shí)，當(dāng)然應(yīng)該為不同的學(xué)生設(shè)計(jì)不同的教學(xué)方案，才能有利于學(xué)生得到充分的發(fā)展。

此外，數(shù)學(xué)科學(xué)中邏輯的嚴(yán)密性不是絕對(duì)的，在數(shù)學(xué)發(fā)展歷史中嚴(yán)密性的程度也是逐步加強(qiáng)的，例如歐幾里得的《幾何原本》曾經(jīng)被作為邏輯嚴(yán)密性的一個(gè)典范，但后人也發(fā)現(xiàn)其中存在不嚴(yán)格，證明過(guò)程中也常常依賴(lài)于圖形的直觀。在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維能力的問(wèn)題上，要注意嚴(yán)密的適度性問(wèn)題。在這方面，我國(guó)中學(xué)數(shù)學(xué)教材工作者和廣大教師在初等數(shù)學(xué)內(nèi)容的教學(xué)處理上作了許多研究，許多處理方式反映了中學(xué)生的認(rèn)識(shí)水平，具有重要價(jià)值，例如，中學(xué)代數(shù)教學(xué)中許多運(yùn)算性質(zhì)的教學(xué)，其邏輯嚴(yán)格性不可能達(dá)到作為科學(xué)意義下數(shù)學(xué)理論的嚴(yán)格程度，一直以來(lái)的處理方法是基本合理的。

此外，在數(shù)學(xué)教學(xué)上追求邏輯上的嚴(yán)密性需要有教學(xué)時(shí)間的保證，中學(xué)生學(xué)習(xí)時(shí)間有限。目前，在實(shí)施高中數(shù)學(xué)新課程以后，各地實(shí)際教學(xué)反映教學(xué)內(nèi)容多而課時(shí)緊的矛盾比較突出，教學(xué)中適當(dāng)?shù)販p少了一些對(duì)中學(xué)生來(lái)說(shuō)比較抽象，或難度較大，或綜合性較強(qiáng)的教學(xué)內(nèi)容，使教學(xué)時(shí)間比較充裕以利于學(xué)生消化吸收知識(shí)。在目前的高中數(shù)學(xué)新課程試驗(yàn)中，教學(xué)內(nèi)容的量怎樣才比較合理，讓一部分高中學(xué)生能夠?qū)W得了的新增的數(shù)學(xué)選修課內(nèi)容(尤其是選修系列四的部分專(zhuān)題)切實(shí)得到實(shí)施，以貫徹落實(shí)新高中課程的多樣性和選擇性，也是值得繼續(xù)探討的重要問(wèn)題。

與此相關(guān)的一個(gè)問(wèn)題，數(shù)學(xué)教學(xué)要處理好過(guò)程與結(jié)果的關(guān)系。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)基本而重要的目標(biāo)是會(huì)解決各種問(wèn)題，過(guò)分地強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)教學(xué)中的邏輯與證明又會(huì)導(dǎo)致知識(shí)面不寬，以致對(duì)于許多影響深遠(yuǎn)、應(yīng)用廣泛的數(shù)學(xué)方法了解不夠。這說(shuō)明，數(shù)學(xué)教育一方面應(yīng)該重視邏輯思維能力的培養(yǎng)，還應(yīng)該重視科學(xué)精神的培養(yǎng)，數(shù)學(xué)思想方法的領(lǐng)會(huì)。就數(shù)學(xué)結(jié)論的嚴(yán)格性和嚴(yán)密性，嚴(yán)格和嚴(yán)密的態(tài)度是需要的，但是，在一些特定的教學(xué)階段，只要不導(dǎo)致邏輯思維能力的降低，不影響學(xué)生對(duì)于結(jié)論的理解，對(duì)于某些類(lèi)同的數(shù)學(xué)定理的證明應(yīng)該可以省略，這應(yīng)該不會(huì)影響數(shù)學(xué)能力的培養(yǎng)。

再一個(gè)問(wèn)題，在我們強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)教學(xué)中要讓學(xué)生理解數(shù)學(xué)過(guò)程的同時(shí)，不能混淆教材編制與課堂教學(xué)之間的界線。一方面，教材編制應(yīng)該有利于老師組織教學(xué)，考慮為老師們優(yōu)化教學(xué)過(guò)程提供設(shè)計(jì)的方案，另一方面，老師的實(shí)際教學(xué)本身是對(duì)教材使用的再創(chuàng)造，必須有一個(gè)研究教材，能動(dòng)地設(shè)計(jì)符合學(xué)生實(shí)際的合理教學(xué)方案的過(guò)程。教材不能過(guò)分地引導(dǎo)甚至去限定實(shí)際教學(xué)方法，更不必把實(shí)際教學(xué)過(guò)程都予以呈現(xiàn)。數(shù)學(xué)教材有必要為學(xué)生的學(xué)習(xí)鉆研以及老師的教學(xué)留有空間和余地，所謂讓學(xué)生把數(shù)學(xué)書(shū)“讀厚”，教師教學(xué)參考書(shū)則應(yīng)該為老師的教學(xué)提供建議和幫助。讓教與學(xué)有一個(gè)從薄到厚，從厚到薄的過(guò)程，這是教好數(shù)學(xué)、學(xué)好數(shù)學(xué)的一個(gè)必要的過(guò)程。另外，強(qiáng)調(diào)在數(shù)學(xué)教學(xué)中要講過(guò)程，很重要的方面是針對(duì)的是在實(shí)際課堂教學(xué)中讓學(xué)生簡(jiǎn)單記憶背誦數(shù)學(xué)結(jié)論而不重視數(shù)學(xué)結(jié)論的來(lái)龍去脈的教學(xué)的問(wèn)題和現(xiàn)象。作為數(shù)學(xué)教科書(shū)，應(yīng)該提倡簡(jiǎn)明扼要，經(jīng)得起學(xué)生對(duì)于教科書(shū)的推敲和研究。

其他科學(xué)工作為了證明自己的論斷常常求助于實(shí)驗(yàn)，而數(shù)學(xué)則依靠推理和計(jì)算來(lái)得到結(jié)論。計(jì)算是數(shù)學(xué)研究的一種重要途徑，所以，中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)必須培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)量觀念和運(yùn)算能力。現(xiàn)在的計(jì)算工具更加先進(jìn)，還可以借助于大型的計(jì)算系統(tǒng)，這使計(jì)算能力可以大大加強(qiáng)。新的高中數(shù)學(xué)課程增設(shè)了算法的內(nèi)容，充實(shí)了概率統(tǒng)計(jì)、數(shù)據(jù)處理的內(nèi)容，在高中技術(shù)課程中又增加了“算法與程序設(shè)計(jì)”模塊，這體現(xiàn)了計(jì)算機(jī)和信息時(shí)代對(duì)于培養(yǎng)運(yùn)算能力的新要求。從目前中學(xué)數(shù)學(xué)實(shí)際教學(xué)情況看，算法內(nèi)容的教學(xué)由于技術(shù)條件的限制而存在落實(shí)不夠的情況，應(yīng)該解決教學(xué)中存在的實(shí)際困難，如算法在計(jì)算機(jī)上真正實(shí)現(xiàn)運(yùn)算，使教學(xué)落到實(shí)處，這就涉及計(jì)算機(jī)語(yǔ)言的問(wèn)題，但在中學(xué)數(shù)學(xué)課程中直接引入計(jì)算機(jī)程序設(shè)計(jì)語(yǔ)言又似乎使中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的內(nèi)容過(guò)于技術(shù)化和專(zhuān)門(mén)化，這是值得研究的一個(gè)問(wèn)題。

2.3應(yīng)用廣泛性

在日常生活、工作和生產(chǎn)勞動(dòng)以及科學(xué)研究中，數(shù)量關(guān)系和空間形式方面的問(wèn)題是普遍存在的，數(shù)學(xué)應(yīng)用具有普遍性。數(shù)學(xué)這門(mén)歷史悠久的學(xué)科，在第二次世界大戰(zhàn)以來(lái)出現(xiàn)了空前的繁榮。在各分支的研究取得重大突破的同時(shí)，數(shù)學(xué)各分支之間、數(shù)學(xué)與其他學(xué)科之間的新的聯(lián)系不斷涌現(xiàn)，更顯著地改變了數(shù)學(xué)科學(xué)的面貌。而意義最為深遠(yuǎn)的是數(shù)學(xué)在社會(huì)生活的作用的革命性變化，尤為顯著的是在技術(shù)領(lǐng)域，隨著計(jì)算機(jī)的發(fā)展，數(shù)學(xué)滲入各行各業(yè)，并且物化到各種先進(jìn)設(shè)備中。從衛(wèi)星到核電站，從天氣預(yù)報(bào)到家用電器，高技術(shù)的高精度、高速度、高自動(dòng)、高安全、高質(zhì)量、高效率等特點(diǎn)，無(wú)一不是通過(guò)數(shù)學(xué)模型和數(shù)學(xué)方法并借助計(jì)算機(jī)的計(jì)算控制來(lái)實(shí)現(xiàn)的。計(jì)算機(jī)軟件技術(shù)在高技術(shù)中占了很大比重，而軟件技術(shù)說(shuō)到底實(shí)際上就是數(shù)學(xué)技術(shù)。數(shù)字式電視系統(tǒng)，先進(jìn)民航飛機(jī)的全數(shù)字化開(kāi)發(fā)過(guò)程，大量的例子說(shuō)明了，在世界范圍數(shù)學(xué)已經(jīng)顯示出第一生產(chǎn)力的本性，她不但是支撐其他科學(xué)的“幕后英雄”，也直接活躍在技術(shù)革命第一線。數(shù)學(xué)對(duì)于當(dāng)代科學(xué)也是至關(guān)重要的，各門(mén)學(xué)科越來(lái)越走向定量化，越來(lái)越需要用數(shù)學(xué)來(lái)表達(dá)其定量和定性的規(guī)律。計(jì)算機(jī)本身的產(chǎn)生和進(jìn)步就強(qiáng)烈地依賴(lài)于數(shù)學(xué)科學(xué)的進(jìn)展。幾乎所有重要的學(xué)科，如在名稱(chēng)前面加上“數(shù)學(xué)”或“計(jì)算”二字，就是現(xiàn)有的一種國(guó)際學(xué)術(shù)雜志的名字，這表明大量的交叉領(lǐng)域不斷涌現(xiàn)，各學(xué)科正在充分利用數(shù)學(xué)方法和成就來(lái)加速本學(xué)科的發(fā)展。關(guān)于數(shù)學(xué)應(yīng)用的廣泛性問(wèn)題，哈佛大學(xué)數(shù)學(xué)物理教授阿瑟·杰佛（ArthurJaffe）在著名的長(zhǎng)篇論文《整理出宇宙的秩序───數(shù)學(xué)的作用》(此文是美國(guó)國(guó)家研究委員會(huì)的報(bào)告《進(jìn)一步繁榮美國(guó)數(shù)學(xué)》的一個(gè)附錄)中作了精辟的論述，他充分肯定了數(shù)學(xué)在現(xiàn)代社會(huì)中的重要作用：“在過(guò)去的四分之一世紀(jì)中，數(shù)學(xué)和數(shù)理技術(shù)已經(jīng)滲透到科學(xué)技術(shù)和生產(chǎn)中去，并成為其中不可分割的組成部分。在現(xiàn)今這個(gè)技術(shù)發(fā)達(dá)的社會(huì)里，掃除‘?dāng)?shù)學(xué)盲’的任務(wù)已經(jīng)替代了昔日掃除‘文盲’的任務(wù)而成為當(dāng)今教育的重要目標(biāo)。人們可以把數(shù)學(xué)對(duì)于我們社會(huì)的貢獻(xiàn)比喻成空氣和食物對(duì)于生命的作用。事實(shí)上，可以說(shuō)，我們大家都生活在數(shù)學(xué)的時(shí)代──我們的文化已經(jīng)數(shù)學(xué)化。在我們周?chē)?，神通廣大的計(jì)算機(jī)最能反映出數(shù)學(xué)的存在，……，若要把數(shù)學(xué)研究對(duì)我們社會(huì)的實(shí)用價(jià)值寫(xiě)出來(lái)，并說(shuō)明一些具體的數(shù)學(xué)思想怎樣影響這一世界，那就可以寫(xiě)出幾部書(shū)來(lái)?！雹人赋觯骸埃?）高明的數(shù)學(xué)不管怎么抽象，它在自然界中最終必能得到實(shí)際的應(yīng)用；（2）要準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)一個(gè)數(shù)學(xué)領(lǐng)域到底在那些地方有用場(chǎng)不可能的。”⑷有許多數(shù)學(xué)家常常對(duì)自己的思想得到的應(yīng)用感到意外。例如，英國(guó)數(shù)學(xué)家哈代（G．H．Hardy）研究數(shù)學(xué)純粹是為了追求數(shù)學(xué)的美，而不是因?yàn)閿?shù)學(xué)有什么實(shí)際用處，他曾自信地聲稱(chēng)數(shù)論不會(huì)有什么實(shí)際用處，但四十年后質(zhì)數(shù)的性質(zhì)成了編制新密碼的基礎(chǔ)，抽象的數(shù)論僅與國(guó)家安全發(fā)生了緊密關(guān)系?！坝?jì)算機(jī)科學(xué)家報(bào)告說(shuō)每一點(diǎn)數(shù)學(xué)都以這樣或那樣的方式在實(shí)際應(yīng)用中幫了忙，物理學(xué)家則對(duì)于‘?dāng)?shù)學(xué)在自然科學(xué)中異乎尋常的有效性’贊嘆不已。”⑷

其次，數(shù)學(xué)教育應(yīng)該注意培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)和能力，這已經(jīng)成為我國(guó)數(shù)學(xué)教育界的共識(shí)。但應(yīng)該注意的另一方面，數(shù)學(xué)的應(yīng)用極其廣泛，在中小學(xué)有限時(shí)間內(nèi)，介紹數(shù)學(xué)應(yīng)用就必須把握好度。數(shù)學(xué)的應(yīng)用具有極端的廣泛性，任何一個(gè)數(shù)學(xué)概念、定理、公式、法則都有極廣的應(yīng)用。而過(guò)量和過(guò)度的數(shù)學(xué)應(yīng)用問(wèn)題的教學(xué)必然影響數(shù)學(xué)基礎(chǔ)理論的教學(xué)，而削弱基礎(chǔ)理論的學(xué)習(xí)又將導(dǎo)致數(shù)學(xué)應(yīng)用的削弱。在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，重在讓學(xué)生初步了解數(shù)學(xué)在某些領(lǐng)域中的應(yīng)用，認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的價(jià)值從而重視數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。另外，數(shù)學(xué)的應(yīng)用也不僅限于具體知識(shí)的實(shí)際應(yīng)用，很重要的是一些數(shù)學(xué)觀念和思想在實(shí)際工作中的運(yùn)用。中小學(xué)是打基礎(chǔ)的時(shí)候，所謂打基礎(chǔ)主要是打數(shù)學(xué)基本知識(shí)和技能的基礎(chǔ)，要讓學(xué)生有較寬廣的數(shù)學(xué)視野,不應(yīng)該以在實(shí)際中是否直接有用作為標(biāo)準(zhǔn)來(lái)決定教學(xué)內(nèi)容的取舍，也不應(yīng)該要求學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)得并不多的時(shí)候就去考慮過(guò)量的應(yīng)用問(wèn)題。初中數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐反映，一些傳統(tǒng)的教學(xué)內(nèi)容被刪減對(duì)于學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)產(chǎn)生了不良影響；高中數(shù)學(xué)新教材實(shí)驗(yàn)回訪也反映，高中數(shù)學(xué)教科書(shū)中某些部分實(shí)際問(wèn)題份量“過(guò)重”，不少實(shí)際問(wèn)題的例、習(xí)題背景太復(fù)雜，教學(xué)中需花很多時(shí)間幫助學(xué)生理解實(shí)際背景，沖淡了對(duì)主要數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)。實(shí)際上，學(xué)生參加工作后面臨的實(shí)際問(wèn)題會(huì)有很大的差異，學(xué)生的工作生活背景差異也很大，學(xué)生對(duì)于實(shí)際背景、實(shí)際問(wèn)題的興趣會(huì)有很大的差異，另外實(shí)際問(wèn)題涉及因素常常較多，對(duì)于中小學(xué)生，尤其是對(duì)于義務(wù)教育中的學(xué)生而言常常顯得比較復(fù)雜。數(shù)學(xué)在某一個(gè)特殊領(lǐng)域的應(yīng)用就必然涉及這個(gè)領(lǐng)域的許多專(zhuān)門(mén)化的知識(shí)，對(duì)于學(xué)生成為較大的困難。此外，學(xué)校教育雖然是為學(xué)生今后參加工作和生產(chǎn)作的準(zhǔn)備，但也不必讓學(xué)生化過(guò)多時(shí)間去思考成人階段才會(huì)遇到的一些實(shí)際問(wèn)題，有些實(shí)際問(wèn)題不如留給成年人去考慮。2001年，人民教育出版社中學(xué)數(shù)學(xué)室邀請(qǐng)北京大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院田剛教授等談數(shù)學(xué)教育的有關(guān)問(wèn)題，他們?cè)谡劦綄?duì)于數(shù)學(xué)科學(xué)及其教學(xué)的看法時(shí)指出：數(shù)學(xué)主要還是計(jì)算與推理，從數(shù)學(xué)中能學(xué)到的，最重要的是邏輯思維，抽象化的方法，這是一些普遍有用的東西；數(shù)學(xué)教育中邏輯思維能力的培養(yǎng)要加強(qiáng)，就應(yīng)用而言，目前的信息技術(shù)中就非常需要很強(qiáng)的邏輯思維能力，尤其是編寫(xiě)程序，編程有長(zhǎng)有短，短的出錯(cuò)的可能性小一些，怎樣才能短一些又解決問(wèn)題，不出現(xiàn)錯(cuò)誤，這就需要邏輯思維；美國(guó)進(jìn)行微積分的教學(xué)改革，用高級(jí)的圖形計(jì)算器，能直觀地看，用逼近的方法；技術(shù)能對(duì)直觀地把握數(shù)學(xué)有一定的幫助，不過(guò)真正重要、有用的還是用邏輯推導(dǎo)公式；數(shù)學(xué)教育要教一些基本的東西。

第三方面，數(shù)學(xué)具有廣泛應(yīng)用，但并非所有學(xué)生都會(huì)去從事需要很深?yuàn)W的數(shù)學(xué)知識(shí)的工作，單就直接應(yīng)用數(shù)學(xué)的角度而言，不必每個(gè)學(xué)生都學(xué)習(xí)很高深的數(shù)學(xué)理論。普通百姓經(jīng)常應(yīng)用的是最基本的數(shù)學(xué)知識(shí)，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)很重要的目的是通過(guò)學(xué)習(xí)提高思維能力。所以，在中小學(xué)階段，一方面數(shù)學(xué)教學(xué)要面向全體學(xué)生，使人人都有機(jī)會(huì)獲得良好的數(shù)學(xué)教育，另一方面也應(yīng)該根據(jù)學(xué)生的實(shí)際和他們的興趣愛(ài)好，根據(jù)每個(gè)學(xué)生的學(xué)業(yè)、智能發(fā)展特長(zhǎng)，讓不同的學(xué)生在不同的方面得到不同的發(fā)展。當(dāng)然，對(duì)于規(guī)劃在科學(xué)和技術(shù)領(lǐng)域發(fā)展的學(xué)生必然應(yīng)該打下良好的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。人們注意到，大量在中學(xué)階段打下了良好數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的學(xué)生，包括部分國(guó)際國(guó)內(nèi)中學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽中的優(yōu)勝者，卻沒(méi)有在后續(xù)學(xué)習(xí)階段繼續(xù)以數(shù)學(xué)作為自己的主要發(fā)展方向而選擇其他的領(lǐng)域，而選擇理工科專(zhuān)業(yè)的學(xué)生常常在大學(xué)階段仍學(xué)習(xí)很多的數(shù)學(xué)科學(xué)的課程，這也說(shuō)明了數(shù)學(xué)應(yīng)用的廣泛性和數(shù)學(xué)對(duì)于學(xué)生發(fā)展的重要價(jià)值。

[參考文獻(xiàn)]

1．吳文俊.吳文俊文集[M].濟(jì)南：山東教育出版社，1986.

2．課題組.國(guó)際初中學(xué)生數(shù)學(xué)和科學(xué)教育的現(xiàn)狀和分析.北京：課程教材教法[J]，1993，(12)：51-54.

篇6

一、 與數(shù)列、不等式有關(guān)的應(yīng)用問(wèn)題

【背景材料】 企業(yè)利潤(rùn)，技術(shù)改造，經(jīng)濟(jì)轉(zhuǎn)型是時(shí)下社會(huì)經(jīng)濟(jì)生活中的熱點(diǎn)話(huà)題。

【命題分析】 利用等差數(shù)列和等比數(shù)列求和最終建立函數(shù)模型。

【試題設(shè)計(jì)】 某企業(yè)2011年的純利潤(rùn)為500萬(wàn)元，因設(shè)備老化等原因，企業(yè)的生產(chǎn)能力將逐年下降．若不能進(jìn)行技術(shù)改造，預(yù)測(cè)從今年(2012年)起每年比上一年純利潤(rùn)減少20萬(wàn)元，今年初該企業(yè)一次性投入資金600萬(wàn)元進(jìn)行技術(shù)改造，預(yù)測(cè)在未扣除技術(shù)改造資金的情況下，第n年(今年為第一年)的利潤(rùn)為5001+12n萬(wàn)元．

（1） 設(shè)從今年起的前n年，若該企業(yè)不進(jìn)行技術(shù)改造的累計(jì)純利潤(rùn)為An萬(wàn)元，進(jìn)行技術(shù)改造后的累計(jì)純利潤(rùn)為Bn萬(wàn)元（須扣除技術(shù)改造資金），求An、Bn的表達(dá)式；

（2） 依上述預(yù)測(cè)，從今年起該企業(yè)至少經(jīng)過(guò)多少年，進(jìn)行技術(shù)改造后的累計(jì)純利潤(rùn)超過(guò)不進(jìn)行技術(shù)改造的累計(jì)純利潤(rùn)？

解析 （1） 依題設(shè)，A1=480,d=－20.

An=480n+nn－12－20=490n－10n2.

Bn=5001+12+1+122+…+1+12n－600=500n－5002n－100．

（2） Bn－An=500n－5002n－100 －(490n－10n2)

=10n2+10n－5002n－100

=10n(n+1) －502n－10．

函數(shù)y = x (x+1)－502x－10在（0，+∞）上為增函數(shù)，

當(dāng)1≤n≤3時(shí)，

n(n+1)－502n－10≤12－508－10

當(dāng)n≥4時(shí)，

n(n+1)－502n－10≥20－5016－10>0．

僅當(dāng)n≥4時(shí)，Bn>An，故至少經(jīng)過(guò)4年，該企業(yè)進(jìn)行技改后的累計(jì)純利潤(rùn)超過(guò)不進(jìn)行技改的累計(jì)純利潤(rùn)．

點(diǎn)撥 本題的兩個(gè)數(shù)學(xué)模型分別是：不進(jìn)行技術(shù)改造的純利潤(rùn)為等差數(shù)列，進(jìn)行技術(shù)改造后的純利潤(rùn)為等比數(shù)列，注意到，An，Bn分別是等差數(shù)列與等比數(shù)列的前n項(xiàng)的和，第（2）問(wèn)解題時(shí)，能觀察到關(guān)于n的函數(shù)10nn+1－502n－10是一個(gè)增函數(shù)是解題的關(guān)鍵。

二、 與解析幾何有關(guān)的應(yīng)用問(wèn)題

【背景材料】 工程作業(yè)中如何操作最省時(shí)省力是較有現(xiàn)實(shí)意義的問(wèn)題。

【命題分析】 將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為距離差值為定值的雙曲線問(wèn)題。

【試題設(shè)計(jì)】 某工程要挖一個(gè)橫斷面為半圓的柱形的坑，挖出的土只能沿道路AP、BP運(yùn)到P處（如圖所示）．已知PA=100 m，PB=150 m，∠APB=60°，試說(shuō)明怎樣運(yùn)土最省工．

解析 以AB所在直線為x軸，線段AB的中點(diǎn)為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系xOy，

設(shè)M（x，y）是沿AP、BP運(yùn)土同樣遠(yuǎn)的點(diǎn)，則|MA|+|PA|=|MB|+|PB|，

|MA|－|MB|=|PB|－|PA|=50．

在PAB中，由余弦定理得|AB|2=|PA|2+|PB|2－2|PA||PB|cos60°=17 500，且50＜|AB|．

由雙曲線定義知M點(diǎn)在以A、B為焦點(diǎn)的雙曲線右支上，設(shè)雙曲線方程為x2a2－y2b2=1 (a＞0，b＞0)．

2a=50,4c2=17 500,c2=a2+b2 解之得a2=625,b2=3 750,

M點(diǎn)軌跡是x2625－y23 750=1在半圓內(nèi)的一段雙曲線?。?/p>

運(yùn)土?xí)r將雙曲線左側(cè)的土沿AP運(yùn)到P處，右側(cè)的土沿BP運(yùn)到P處最省工．

點(diǎn)撥 本題是不等量與等量關(guān)系問(wèn)題，涉及到分類(lèi)思想，通過(guò)建立直角坐標(biāo)系，利用點(diǎn)的性質(zhì)，構(gòu)造圓錐曲線模型（即分界線）從而確定出最優(yōu)化區(qū)域。

三、 與概率分布、數(shù)學(xué)期望有關(guān)的應(yīng)用問(wèn)題

【背景材料】 隨著私家車(chē)的不斷增多，與車(chē)輛有關(guān)的問(wèn)題迅速多了起來(lái)，比如保險(xiǎn)問(wèn)題。

【命題分析】 本題主要考查獨(dú)立事件的概率、對(duì)立事件的概率、互斥事件的概率及二項(xiàng)分布的數(shù)學(xué)期望，考查學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。

【試題設(shè)計(jì)】 根據(jù)以往統(tǒng)計(jì)資料，某地車(chē)主購(gòu)買(mǎi)甲種保險(xiǎn)的概率為0.5，購(gòu)買(mǎi)乙種保險(xiǎn)但不購(gòu)買(mǎi)甲種保險(xiǎn)的概率為0.3，設(shè)各車(chē)主購(gòu)買(mǎi)保險(xiǎn)相互獨(dú)立．

(1) 求該地1位車(chē)主至少購(gòu)買(mǎi)甲、乙兩種保險(xiǎn)中的1種的概率；

(2) X表示該地的100位車(chē)主中,甲、乙兩種保險(xiǎn)都不購(gòu)買(mǎi)的車(chē)主數(shù)．求X的期望．

解析 記A表示事件: 該地的1位車(chē)主購(gòu)買(mǎi)甲種保險(xiǎn)；

B表示事件: 該地的1位車(chē)主購(gòu)買(mǎi)乙種保險(xiǎn)但不購(gòu)買(mǎi)甲種保險(xiǎn)；

C表示事件: 該地的1位車(chē)主至少購(gòu)買(mǎi)甲、乙兩種保險(xiǎn)中的1種；

D表示事件: 該地的1位車(chē)主甲、乙兩種保險(xiǎn)都不購(gòu)買(mǎi)．

(1) P(A)＝0.5，P(B)＝0.3， C＝A＋B,

P(C)＝P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.8.

(2) D＝C，P(D)＝1－P(C)＝1－0.8＝0.2,

X～B(100，0.2),即X服從二項(xiàng)分布,

期望E(X)＝100×0.2＝20．

點(diǎn)撥 概率與數(shù)學(xué)期望是理科加試中的常考題，考查保險(xiǎn)背景下的概率問(wèn)題，要求考生熟練掌握獨(dú)立事件的概率、對(duì)立事件的概率、互斥事件的概率及二項(xiàng)分布的數(shù)學(xué)期望。

牛刀小試

1． 某貧困鄉(xiāng)為提高當(dāng)?shù)厝罕姷纳钏?，由政府投資興建了甲、乙兩個(gè)企業(yè)，2007年該鄉(xiāng)從甲企業(yè)獲得利潤(rùn)320萬(wàn)元，從乙企業(yè)獲得利潤(rùn)720萬(wàn)元．以后每年上交的利潤(rùn)是：甲企業(yè)以1.5倍的速度遞增，而乙企業(yè)則為上一年利潤(rùn)的23．根據(jù)測(cè)算，該鄉(xiāng)從兩個(gè)企業(yè)獲得的利潤(rùn)達(dá)到2 000萬(wàn)元時(shí)可以解決溫飽問(wèn)題，達(dá)到8 100萬(wàn)元時(shí)可以達(dá)到小康水平．

（1） 若以2007年為第一年，則該鄉(xiāng)從上述兩個(gè)企業(yè)獲得利潤(rùn)最少的一年是那一年，該年還需要籌集多少萬(wàn)元才能解決溫飽問(wèn)題？

（2） 試估算2015年底該鄉(xiāng)能否達(dá)到小康水平？為什么？

2． 如圖，某隧道設(shè)計(jì)為雙向四車(chē)道，車(chē)道總寬22 m，要求通行車(chē)輛限高4.5 m，隧道全長(zhǎng)2.5 km，隧道的拱線近似地看成半個(gè)橢圓形狀．

（1） 若最大拱高h(yuǎn)為6 m，則隧道設(shè)計(jì)的拱寬l是多少？

（2） 若最大拱高h(yuǎn)不小于6 m，則應(yīng)如何設(shè)計(jì)拱高h(yuǎn)和拱寬l，才能使半個(gè)橢圓形隧道的土方工程量最??？（半個(gè)橢圓的面積公式為S=π4lh，柱體體積為底面積乘以高．本題結(jié)果均精確到0.1 m）

3． 本著健康、低碳的生活理念，租自行車(chē)騎游的人越來(lái)越多．某自行車(chē)租車(chē)點(diǎn)的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是每車(chē)每次租不超過(guò)兩小時(shí)免費(fèi)，超過(guò)兩小時(shí)的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為每車(chē)每小時(shí)2元（不足1小時(shí)的部分按1小時(shí)計(jì)算）．甲乙兩人獨(dú)立來(lái)該租車(chē)點(diǎn)租車(chē)騎游，各租一車(chē)一次．設(shè)甲、乙不超過(guò)兩小時(shí)還車(chē)的概率分別為0.25，0.5；兩小時(shí)以上且不超過(guò)三小時(shí)還車(chē)的概率分別為0.5，0.25；兩人租車(chē)時(shí)間都不會(huì)超過(guò)四小時(shí)．

（1） 求甲、乙所付租車(chē)費(fèi)用相同的概率；

（2） 設(shè)甲、乙兩人所付的租車(chē)費(fèi)用之和為隨機(jī)變量X，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望E(X)．

【參考答案】

1. （1） 設(shè)第n年該鄉(xiāng)從兩企業(yè)獲得總利潤(rùn)為y萬(wàn)元．

y＝320×1.5n－1+720×23n－1

≥2320×32n－1×720×23n－1

＝960.

當(dāng)且僅當(dāng)n＝2時(shí)，即2008年總利潤(rùn)最少為y＝960萬(wàn)元，故還需籌集2 000－960=1 040萬(wàn)元才能解決溫飽問(wèn)題．

（2） 2015年時(shí)，n=9，此時(shí)y=320×1.58+720×238＝8 201.25＋28.09＞8 100,

即2015年底該鄉(xiāng)能達(dá)到小康水平．

2． （1） 如圖建立直角坐標(biāo)系，則點(diǎn)P（11，4.5），

橢圓方程為x2a2+y2b2=1．將b=h=6與點(diǎn)P坐標(biāo)代入橢圓方程，得a=4477，此時(shí)l=2a=8877≈33.3．

因此隧道的拱寬約33.3 m．

（2） 由橢圓方程x2a2+y2b2=1，得112a2+4.52b2=1．

因?yàn)?12a2+4.52b2≥2×11×4.5ab，即ab≥99，且l=2a，h=b，所以S=π4lh=πab2≥99π2．

當(dāng)S取最小值時(shí)，有112a2=4.52b2=12，得a=112，b=922．此時(shí)l=2a=222≈31．1，

h=b≈6．4.

故當(dāng)拱高約為6.4 m、拱寬約為31.1 m時(shí)，土方工程量最小．

3. （1） 所付費(fèi)用相同即為0，2，4元．設(shè)付0元為P1=14•12=18，付2元為P2=12•14=18，付4元為P3=14•14=116，則所付費(fèi)用相同的概率為P=P1+P2+P3=516.

(2) X＝0，2，4，6，8,P(X＝0)＝18，

P(X＝2)＝14•14+12•12＝516，

P(X＝4)＝14•14+12•14+12•14＝516，

P(X＝6)＝14•14+12•14＝316，

P(X＝8)＝14•14＝116.

分布列為：X02468

P18516516316116

篇7

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)教學(xué)；信息技術(shù)；課堂；作用

信息技術(shù)的飛速發(fā)展，推動(dòng)了數(shù)學(xué)教育從目的、內(nèi)容、形式、方法到組織的全面變革?！痘A(chǔ)教育課程改革綱要（試行）》指出：“大力推進(jìn)多媒體信息技術(shù)在教學(xué)過(guò)程中的普遍應(yīng)用，促進(jìn)信息技術(shù)與學(xué)科課程的整合，逐步實(shí)現(xiàn)教學(xué)內(nèi)容的呈現(xiàn)方式、學(xué)生的學(xué)習(xí)方式、教師的教學(xué)方式和師生互動(dòng)方式的變革，充分發(fā)揮信息技術(shù)的優(yōu)勢(shì)，為學(xué)生的學(xué)習(xí)和發(fā)展提供豐富多彩的教育環(huán)境和有力的學(xué)習(xí)工具?！苯處熯\(yùn)用現(xiàn)代多媒體信息技術(shù)對(duì)教學(xué)活動(dòng)進(jìn)行創(chuàng)造性設(shè)計(jì)，發(fā)揮計(jì)算機(jī)輔助教學(xué)的特有功能，把信息技術(shù)和數(shù)學(xué)教學(xué)的學(xué)科特點(diǎn)結(jié)合起來(lái)，可以使教學(xué)的表現(xiàn)形式更加形象化、多樣化、視覺(jué)化，有利于充分揭示數(shù)學(xué)概念的形成與發(fā)展、數(shù)學(xué)思維的過(guò)程和實(shí)質(zhì)，展示數(shù)學(xué)思維的形成過(guò)程，使數(shù)學(xué)課堂教學(xué)收到事半功倍的效果。

一、把信息技術(shù)和數(shù)學(xué)教學(xué)的學(xué)科特點(diǎn)結(jié)合，有利于提高學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性

“興趣是最好的老師”，有良好的興趣就有良好的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)，但不是每個(gè)學(xué)生都具有良好的學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣?！昂闷妗笔菍W(xué)生的天性，他們對(duì)新穎的事物、知道而沒(méi)有見(jiàn)過(guò)的事物都感興趣，要激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性，就必須滿(mǎn)足他們這些需求。而傳統(tǒng)的教學(xué)和現(xiàn)在的許多教學(xué)都是嚴(yán)格按照教學(xué)大綱，把學(xué)生封閉在枯燥的教材和單調(diào)的課堂內(nèi)，使其和豐富的資源、現(xiàn)實(shí)完全隔離，致使學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣日益衰減。將多媒體信息技術(shù)融于教學(xué)課堂，利用多媒體信息技術(shù)圖文并茂、聲像并舉、能動(dòng)會(huì)變、形象直觀的特點(diǎn)為學(xué)生創(chuàng)設(shè)各種情境，可激起學(xué)生的各種感官的參與，調(diào)動(dòng)學(xué)生強(qiáng)烈的學(xué)習(xí)欲望，激發(fā)動(dòng)機(jī)和興趣。

例如：我在教學(xué)《函數(shù)y=Asin（Wx+ ）的圖象》一節(jié)時(shí)，先用《幾何畫(huà)板》創(chuàng)設(shè)好演示軟件告訴學(xué)生本節(jié)課的學(xué)習(xí)目標(biāo)，對(duì)W、 、A的不同值引起圖象的變化，再讓學(xué)生進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，對(duì)W、 、A的值自由輸入，得出相應(yīng)的圖象，再變換三個(gè)值的先后輸入順序反復(fù)實(shí)驗(yàn)、探索，學(xué)生很快發(fā)現(xiàn)規(guī)律?？梢宰寣W(xué)生小組合作共同實(shí)驗(yàn)，互相交流、探討，讓每位學(xué)生都親歷實(shí)踐、探討，激發(fā)學(xué)生的求知欲，使學(xué)生自主學(xué)習(xí)的能力得以培養(yǎng)。又例如：離散性隨機(jī)變量的正態(tài)分布曲線，可將典型的呈等腰分布的9行鐵釘之均勻空隙下的玻璃球?qū)嶒?yàn)，通過(guò)flash軟件制成課件搬進(jìn)課堂屏幕輕快反復(fù)地演示實(shí)驗(yàn)，使學(xué)生對(duì)正態(tài)總體分布的規(guī)律和曲線有一個(gè)確信而深刻的認(rèn)識(shí)，從而讓學(xué)生學(xué)到知識(shí)。這也說(shuō)明了多媒體信息技術(shù)在教學(xué)中的作用。

二、把信息技術(shù)和數(shù)學(xué)教學(xué)的學(xué)科特點(diǎn)結(jié)合，有利于幫助學(xué)生進(jìn)行探索和發(fā)現(xiàn)

數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程，事實(shí)上就是學(xué)生在教師的引導(dǎo)下，對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決方法進(jìn)行研究、探索的過(guò)程，繼而對(duì)其進(jìn)行延拓、創(chuàng)新的過(guò)程。于是，教師如何設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)問(wèn)題、選擇數(shù)學(xué)問(wèn)題就成為數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)的關(guān)鍵。而問(wèn)題又產(chǎn)生于情境，因此，教師在教學(xué)活動(dòng)中創(chuàng)設(shè)情景就是組織課堂教學(xué)的核心?，F(xiàn)代多媒體信息技術(shù)如網(wǎng)絡(luò)信息、多媒體教學(xué)軟件等的應(yīng)用為我們提供了強(qiáng)大的情景資源。例如：我在《多面體和旋轉(zhuǎn)體的基本概念》及《多面體與旋轉(zhuǎn)體表面積和體積》的教學(xué)中，充分利用flash和PowerPoint制作動(dòng)態(tài)的多面體和旋轉(zhuǎn)體課件，學(xué)生通過(guò)探索，發(fā)現(xiàn)了空間幾何體的基本概念，深刻的理解了空間幾何體表面積和體積的計(jì)算公式。又例如我在講解《空間四邊形》的有關(guān)問(wèn)題時(shí)，如果只利用模型讓學(xué)生觀察，在黑板上作出空間四邊形的平面直觀圖，大部分學(xué)生在課后解決相關(guān)的問(wèn)題的時(shí)候，總自然而然的認(rèn)為空間四邊形兩條對(duì)角線是相交的。如果在教學(xué)中利用三維立體幾何畫(huà)板導(dǎo)入基本圖形，現(xiàn)場(chǎng)制作旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的空間四邊形圖形，現(xiàn)場(chǎng)添加線條，在旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中讓學(xué)生感受空間立體圖形的形象，培養(yǎng)學(xué)生的空間觀察和思維能力，從而使他們?cè)谟^察過(guò)程中留下空間四邊形兩條對(duì)角線不相交的深刻印象，在解決其它有關(guān)問(wèn)題時(shí)不致出錯(cuò)，同時(shí)學(xué)生在這個(gè)過(guò)程中發(fā)現(xiàn)了異面直線的概念，為后面的《異面直線》的教學(xué)奠定了基礎(chǔ)。由此可見(jiàn)，多媒體信息技術(shù)創(chuàng)設(shè)情景產(chǎn)生的作用是傳統(tǒng)教學(xué)手段無(wú)法比擬的。

三、把信息技術(shù)和數(shù)學(xué)教學(xué)的學(xué)科特點(diǎn)結(jié)合，有利于幫助學(xué)生獲取數(shù)學(xué)解題技能和經(jīng)驗(yàn)

數(shù)學(xué)是集嚴(yán)密性、邏輯性、精確性、創(chuàng)造性與想象力于一身的科學(xué)，數(shù)學(xué)教學(xué)則要求學(xué)生在教師設(shè)計(jì)的教學(xué)活動(dòng)或提供的環(huán)境中通過(guò)積極的思維不斷了解、理解和掌握這門(mén)科學(xué)，于是揭示思維過(guò)程、促進(jìn)學(xué)生思考就成為數(shù)學(xué)教育的特殊要求。多媒體信息技術(shù)在數(shù)學(xué)教育中存在深藏的潛力，在教學(xué)中指導(dǎo)學(xué)生利用多媒體信息技術(shù)學(xué)習(xí)，不僅可以幫助學(xué)生提高獲取技能和經(jīng)驗(yàn)的能力，幫助學(xué)生提高思維能力和理解能力，還可以培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)主動(dòng)性。例如：我在講解《極限的概念》這一節(jié)內(nèi)容之前，先要求學(xué)生自己利用網(wǎng)絡(luò)查詢(xún)并收集有關(guān)極限的資料，通過(guò)整理資料，提出與極限有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題，再通過(guò)我的動(dòng)畫(huà)課件，學(xué)生歸納出了極限的概念，同時(shí)揭示了極限的概念的內(nèi)涵。更重要的是學(xué)生在通過(guò)網(wǎng)絡(luò)查詢(xún)并收集有關(guān)極限的資料的過(guò)程中，深深的體會(huì)到網(wǎng)絡(luò)互動(dòng)交流式的學(xué)習(xí)環(huán)境，視眼開(kāi)闊，多彩多姿，浩瀚無(wú)窮。

四、把信息技術(shù)和數(shù)學(xué)教學(xué)的學(xué)科特點(diǎn)結(jié)合，可有效突破教學(xué)重點(diǎn)及難點(diǎn)

傳統(tǒng)的教學(xué)中，數(shù)學(xué)知識(shí)的難點(diǎn)、重點(diǎn)主要靠教師講解、啟發(fā)、分析，學(xué)生理解的程度如何，關(guān)鍵看個(gè)人能力，而數(shù)學(xué)學(xué)科的邏輯性強(qiáng)，抽象思維要求高，傳統(tǒng)教學(xué)手段很難利用黑板將這種復(fù)雜的情景展示出來(lái)，這就大大降低了學(xué)生理解和教師教學(xué)的難度。運(yùn)用信息技術(shù)手段進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)，通過(guò)信息技術(shù)搭建理解數(shù)學(xué)知識(shí)的平臺(tái)，借助先進(jìn)的數(shù)學(xué)軟件，使學(xué)生一動(dòng)就清楚明白，一看就豁然開(kāi)朗。從感覺(jué)到理解，從意會(huì)到表達(dá)，從抽象到具體，從猜想到證明，促進(jìn)教學(xué)方式的轉(zhuǎn)變。對(duì)于數(shù)學(xué)概念的教學(xué)，利用先進(jìn)的數(shù)學(xué)CAI軟件可以創(chuàng)設(shè)有效的數(shù)學(xué)情境，將抽象的概念直觀化，使學(xué)生理解更深刻。例如：我在教學(xué)奇函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)呈對(duì)稱(chēng)性，傳統(tǒng)的教學(xué)大多是成品觀察命令接受，再利用函數(shù)式簡(jiǎn)要解釋?zhuān)衾糜?jì)算機(jī)動(dòng)態(tài)演示，將圖象繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180度后，發(fā)現(xiàn)與原圖象重合，學(xué)生看完后對(duì)這一性質(zhì)心領(lǐng)神會(huì)。利用先進(jìn)的數(shù)學(xué)軟件可以將函數(shù)圖象平移、旋轉(zhuǎn)、對(duì)稱(chēng)、伸縮等等，使學(xué)生能在圖形的變換中研究數(shù)學(xué)規(guī)律，提高應(yīng)變能力。在講對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)時(shí)，因?yàn)閷?duì)數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)，我們可利用《幾何畫(huà)板》或其它教學(xué)軟件，讓學(xué)生親眼目睹教師用函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性來(lái)畫(huà)函數(shù)圖像的過(guò)程；根據(jù)圖像我們可以使學(xué)生得出函數(shù)的性質(zhì)，可以用計(jì)算機(jī)的數(shù)字追蹤功能進(jìn)行函數(shù)性質(zhì)的驗(yàn)證；這樣，有計(jì)算機(jī)的輔助就可以用很少的時(shí)間取得顯著的效果，這是其它教學(xué)手段不能比擬的。

五、把信息技術(shù)和數(shù)學(xué)教學(xué)的學(xué)科特點(diǎn)結(jié)合，有助于解放教師的繁重艱施，更多更好發(fā)揮學(xué)生的主體作用

為了在實(shí)際教學(xué)中更多更好的突出學(xué)生的主體作用這一特點(diǎn)，我們?cè)诳紤]課堂教學(xué)結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)時(shí)，重點(diǎn)應(yīng)研究四個(gè)方面：①科學(xué)安排一節(jié)課的各組成部分進(jìn)行的順序；②合理分配和使用時(shí)間；③精心設(shè)計(jì)安排練習(xí)；④要根據(jù)不同的教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)要求，有計(jì)劃有步驟地引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行各種認(rèn)識(shí)活動(dòng)，如操作、觀察、測(cè)量、畫(huà)圖、解題等，引導(dǎo)學(xué)生在活動(dòng)中思考，逐步放手讓學(xué)生自己去探索。而電教手段的應(yīng)用，可以節(jié)約傳統(tǒng)的板書(shū)、畫(huà)圖等的時(shí)間，從時(shí)間上使有限的課堂40分鐘“變長(zhǎng)”了，使學(xué)生的主體作用可以得到更加充分的發(fā)揮。再例如一些優(yōu)秀的計(jì)算機(jī)軟件，如《幾何畫(huà)板》、函數(shù)作圖器等等，利用這些軟件提供的平臺(tái)對(duì)高中數(shù)學(xué)相關(guān)內(nèi)容進(jìn)行教學(xué)，可以極大的解放教師的繁重艱施，其效果也是傳統(tǒng)教學(xué)無(wú)法比擬的。例如我在講授冪函數(shù)一節(jié)時(shí)，就充分采用了《幾何畫(huà)板》教學(xué)的優(yōu)勢(shì)。由于冪函數(shù)圖象錯(cuò)綜復(fù)雜，有11種之多，傳統(tǒng)的講授要列表作圖再歸納，費(fèi)時(shí)費(fèi)力。而《幾何畫(huà)板》軟件畫(huà)圖簡(jiǎn)易，方便快捷。首先，提出教學(xué)目標(biāo)，第一階段是根據(jù)冪函數(shù)y=x ，指數(shù)的不同取值歸納出冪函數(shù)的圖象種類(lèi)，第二階段是歸納冪函數(shù)性質(zhì)。筆者只要鍵入不同的 值，圖象立刻出現(xiàn)，一時(shí)間學(xué)生的興致非常高漲。很快有同學(xué)發(fā)現(xiàn)指數(shù)取奇偶數(shù)、指數(shù)取正負(fù)數(shù)時(shí)圖象均是不同類(lèi)型，接著，又有同學(xué)發(fā)現(xiàn)指數(shù)取小數(shù)（分?jǐn)?shù)）對(duì)圖象的影響等等。學(xué)生通過(guò)自已的探索，并觀察思考，印象深刻，回味久遠(yuǎn)，教師只要稍加引導(dǎo)便較好地完成了教學(xué)任務(wù)。按照新課程的理念，教師要轉(zhuǎn)變傳統(tǒng)的教學(xué)方式，由傳授知識(shí)者轉(zhuǎn)變?yōu)檎n堂教學(xué)的設(shè)計(jì)者，與學(xué)生一同學(xué)習(xí)的合作者。

六、將多媒體信息技術(shù)融于教學(xué)課堂，有助于提高教師的業(yè)務(wù)水平和計(jì)算機(jī)使用技能