導(dǎo)語：如何才能寫好一篇數(shù)學(xué)建模窮舉法，這就需要搜集整理更多的資料和文獻，歡迎閱讀由公務(wù)員之家整理的十篇范文，供你借鑒。

篇1

【關(guān)鍵詞】模擬退火算法 信道選擇

一、引言

無線通信技術(shù)為人們生活帶了便利和高效率。作為傳統(tǒng)有線網(wǎng)絡(luò)的一種替代方案和延伸，無線通信技術(shù)用無線空口替代網(wǎng)線，把人們固定有線接入解放出來，隨時隨地方便的獲取信息和提供娛樂。隨著智能手機和Pad的大規(guī)模普及，基于移動智能終端的數(shù)據(jù)業(yè)務(wù)爆發(fā)式增長，傳統(tǒng)運營商采用的2G/3G宏基站網(wǎng)絡(luò)無法支持移動互聯(lián)網(wǎng)海量數(shù)據(jù)流量，移動運營商開始關(guān)注利用微基站接入點作為容量吸收層承載數(shù)據(jù)業(yè)務(wù)。微基站接入點包括家庭用Femto、WLAN等。在國內(nèi)，中國電信、中國移動、中國聯(lián)通自2008年以來都大范圍的部署和推廣微蜂窩接入點，將其作為現(xiàn)有無線網(wǎng)絡(luò)的補充，吸收容量。微蜂窩由于數(shù)量眾多，部署場景千差萬別，微蜂窩與宏蜂窩的差別之一就是要能夠?qū)崿F(xiàn)自動的頻段規(guī)劃，否則依靠人工規(guī)劃部署，巨大的工作量將導(dǎo)致不可能進行實際部署。

二、數(shù)學(xué)建模和求解

運營商部署WLAN網(wǎng)絡(luò)面臨的一個重要問題就是，如何進行WLAN網(wǎng)絡(luò)頻率資源的規(guī)劃，頻譜規(guī)劃的好壞關(guān)系到網(wǎng)絡(luò)的性能。簡單的說為了網(wǎng)絡(luò)獲取更好的性能，頻率規(guī)劃的原則應(yīng)該使得相鄰微基站盡量使用不同的頻點盡量錯開，整個網(wǎng)絡(luò)的平均干擾水平最小。

以WLAN微蜂窩為例，WLAN一般使用20MHz工作帶寬，工作在2.4GHz和5GHz頻段非授權(quán)頻譜。在2.4GHz頻段WLAN有3個不重疊的20MHz信道，信道之間相互不會干擾。

為了使得問題具有通用性，假設(shè)有N個相互不干擾的工作頻點，N為確定常數(shù)。在一定區(qū)域內(nèi)要部署M個微基站接入點，最終求解是使得M個AP形成的網(wǎng)絡(luò)性能最好，即干擾最小。在第n個頻點工作的PAni對PAnj的干擾為。這個問題就變成求解最小。這是個問題可歸結(jié)為一個數(shù)學(xué)上的NP問題。使用窮舉求解這個問題，需要的實驗次數(shù)為M^N，即求解該問題的復(fù)雜度O（M^N）。

通過窮舉遍歷試驗可以求得NP問題的最優(yōu)解，但一般情況下，遍歷的復(fù)雜度即實驗時間往往會是一個天文數(shù)字，使得實際中根本無法通過這種方法獲得最優(yōu)解。爬山算法是一種局部最優(yōu)化解，其復(fù)雜度為線性，但往往會導(dǎo)致只搜索到局部最優(yōu)解。爬山算法是一種簡單的貪心搜索算法，該算法每次從當前解的臨近解空間中選擇一個最優(yōu)解作為當前解，直到達到一個局部最優(yōu)解。爬山算法實現(xiàn)很簡單，其主要缺點是會陷入局部最優(yōu)解，而不一定能搜索到全局最優(yōu)解。1989 年 Johnson 等人通過詳盡的實驗證實了采用模擬退火算法求解NP問題的優(yōu)點。爬山法每次都選擇一個當前局部最優(yōu)解，因此只能搜索到局部的最優(yōu)值。模擬退火在搜索過程引入了隨機因素，以一定的概率來接受一個比當前解要差的解，所以可能會跳出這個局部的最優(yōu)解，到達全局最優(yōu)解。模擬退火算法在搜索到局部最優(yōu)解后，會以一定的概率接受到非局部最優(yōu)的移動。也許經(jīng)過幾次這樣的不是局部最優(yōu)的移動后會跳出了局部最優(yōu)向全局最優(yōu)方向進行搜索。

模擬退火算法基本思想和過程如下：

假設(shè)代價函數(shù)為J（Y），第i次迭代過程代價函數(shù)為J（Y（i））；

若J（ Y（i+1） ）>= J（ Y（i） ），即移動后得到更優(yōu)解，則總是接受該移動；

若J（ Y（i+1） ）< J（ Y（i） ），即移動后的解比當前解要差，則以一定的概率接受移動，而且這個概率隨著時間推移逐漸降低，以使得該過程收斂。

這里的“一定的概率”計算參考了金屬冶煉的退火過程，這也是模擬退火算法名稱的由來。根據(jù)熱力學(xué)的原理，在溫度為T時，出現(xiàn)能量差為dE的降溫的概率為P（dE），表示為，P（dE） = exp（ dE/（kT） ）。

其中k是一個常數(shù)，exp表示自然指數(shù)，且dE

假設(shè)在1000平方米區(qū)域隨機布放200個接入點，有4個可用信道頻率。使用窮舉法，需要進行200^4=1.6x10^9次試驗。

使用模擬退火算法，構(gòu)建代價函數(shù)，

其中，代表工作在第n個頻點的PAni對PAnj的干擾。

通過仿真證明，使用模擬退火算法能夠以較小的復(fù)雜度得到與窮舉法幾乎一致的最優(yōu)解。

三、總結(jié)

本文分析了WLAN頻率規(guī)劃中的數(shù)學(xué)問題，歸結(jié)為NP問題求解，證明了模擬退火算法解決這一類問題的實際可行性。

參考文獻：

[1]Optimization by Simulated Annealing： An Experimental Evaluation； Part I， Graph Partitioning， David S. Johnson， Cecilia R. Aragon， Lyle A. McGeoch， Catherine Schevon；

[2]模擬退火算法與遺傳算法的結(jié)合，王雪梅，王義和， 《計算機學(xué)報》1997年04期；

[3]新型遺傳模擬退火算法求解物流配送路徑問題， 閻慶， 鮑遠律， 計算機應(yīng)用 2004年z1期；

篇2

關(guān)鍵詞： 數(shù)學(xué)建模 課程改革

引言

數(shù)學(xué)建模，從宏觀上講是人們借助數(shù)學(xué)改造自然、征服自然的過程，從微觀上講是把數(shù)學(xué)作為一種工具并應(yīng)用它解決實際問題的教學(xué)活動方式。數(shù)學(xué)建模通過建立數(shù)學(xué)模型解決各種實際問題，即用數(shù)學(xué)的語言刻畫和描述實際問題，然后經(jīng)過數(shù)學(xué)的處理得到定量的結(jié)果。數(shù)學(xué)建模教學(xué)與競賽是提高學(xué)生運用所學(xué)知識解決實際問題的有效途徑。隨著數(shù)學(xué)建模的廣泛應(yīng)用，其重要性也得到認可，逐漸由非主干課轉(zhuǎn)化為主干課，課時和實踐環(huán)節(jié)也隨之增加，但同時，在各種教學(xué)實踐和參賽實踐中，數(shù)學(xué)建模也暴露了許多問題，這就引發(fā)了數(shù)學(xué)建模的改革。

1.數(shù)學(xué)建模課程的存在的問題以及引起這些問題的原因

1.1數(shù)學(xué)建模存在的問題

1.1.1教學(xué)內(nèi)容選擇不合理，具有很大的隨意性

目前數(shù)學(xué)建模在教學(xué)中還沒有形成比較完整嚴密的教學(xué)體系，教學(xué)資料的編排也各不相同，有些教材以實際問題為主線編排，有些教材則以所使用的數(shù)學(xué)方法為主線編排。以實際問題為主線的編排體系，主要是羅列問題，過分突出問題的解決，教材中涵蓋了大量難度較大的現(xiàn)成的數(shù)學(xué)模型，這些模型應(yīng)用了大量的非數(shù)學(xué)領(lǐng)域的知識和方法，照搬這類教材進行數(shù)學(xué)建模教學(xué)，學(xué)生接受難，教師駕馭難。而以數(shù)學(xué)方法為主線的編排體系，則過分突出了數(shù)學(xué)知識的介紹，由于數(shù)學(xué)建模所用到的數(shù)學(xué)知識十分廣泛，幾乎涉及到數(shù)學(xué)的各個分支，因此對教師的知識結(jié)構(gòu)提出了很高的要求；同時此體系還存在很多課程內(nèi)容重復(fù)現(xiàn)象。

1.1.2教師教學(xué)方法不得當，模型講解過于機械

高校開設(shè)數(shù)學(xué)建模課程的時間較短，缺乏應(yīng)有的教學(xué)經(jīng)驗來借鑒，大多數(shù)教師仍然采用一般數(shù)學(xué)課程的教學(xué)方法，對各種模型按照所用數(shù)學(xué)知識機械講解，對問題的形成背景，建模過程中可能用到的不同數(shù)學(xué)思想和方法很少顧及。實際上，數(shù)學(xué)建模課程和一般的數(shù)學(xué)課程有很大不同。在建模中，近似解也許比解析解更合理，窮舉法也不再是笨辦法。因此照搬一般數(shù)學(xué)課程中的教學(xué)方法是行不通的，數(shù)學(xué)建模的教學(xué)應(yīng)該更靈活、更主動，否則會使得學(xué)生難以掌握數(shù)學(xué)建模的精髓。

1.1.3學(xué)生學(xué)習(xí)方法不靈活，學(xué)習(xí)過程過于死板

與教師在教學(xué)方法上的問題相似，學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)建模課程中也會沿用在學(xué)習(xí)其他數(shù)學(xué)課程中的方法，但到了數(shù)學(xué)建模，很多學(xué)生發(fā)現(xiàn)這些學(xué)習(xí)方法應(yīng)多一線數(shù)學(xué)建模教師也不善于引導(dǎo)學(xué)生靈活地應(yīng)用已掌握的基礎(chǔ)數(shù)學(xué)知識求解建模問題，使得學(xué)生覺得數(shù)學(xué)建模過于復(fù)雜而產(chǎn)生畏懼。應(yīng)付不了數(shù)學(xué)建模這門課程的學(xué)習(xí)，從而是學(xué)生學(xué)習(xí)起來非常吃力。

1.2引起這些問題的原因

根據(jù)多方面的了解以及研究，我們可以發(fā)現(xiàn)，引起以上這些問題的原因可以總結(jié)為以下幾個幾點：

第一、在日常的學(xué)習(xí)中，學(xué)生對于數(shù)學(xué)建模的學(xué)習(xí)熱情不高，積極性也不高，總是抱著臨陣磨槍的心態(tài)來應(yīng)對數(shù)學(xué)建模課程的學(xué)習(xí)。

第二，在參加競賽培訓(xùn)的學(xué)生中，學(xué)生的專業(yè)比較單一，數(shù)學(xué)建模課程沒有在高校學(xué)生中得到廣泛的推廣，這些雖與宣傳力度以及缺少必要的教學(xué)環(huán)節(jié)都存在或多或少的關(guān)系。

第三，高低年紀的學(xué)生參加比例與獲獎人數(shù)不成比例。對于高年級的同學(xué)，特別是大四的同學(xué)來說，他們擁有較厚的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，但由于面臨著畢業(yè)，考研、工作、出國的等各種壓力，參賽的學(xué)生較少，但獲獎的比例卻很大；而低年級的同學(xué)，參加的人數(shù)較多，且積極性很高，但成績不突出，獲獎的人數(shù)也很少。這些從側(cè)面反映了低年級課程安排不合理，有些課程開設(shè)的太晚。

第四，還有很多人把數(shù)學(xué)建模課程的重點放在了具有復(fù)雜背景的實際問題的解決上，他們忽略了數(shù)學(xué)專業(yè)的特點以及培養(yǎng)目標，數(shù)學(xué)建模課程的重點應(yīng)該放在樹立信念、培養(yǎng)意識和能力上。

第五，數(shù)學(xué)建模課程的開設(shè)以及使用的教材也存在著很多不足。大部分的高校數(shù)學(xué)教育專業(yè)的數(shù)學(xué)建模課程照搬理工類專業(yè)數(shù)學(xué)建模教材，而這些教材主要存在以下問題：首先，教材中包含大量難度較大的現(xiàn)成的數(shù)學(xué)模型，要理解這些問題很困難，導(dǎo)致了大部分學(xué)生的死記硬背； 再者，這些教材主要是采用以問題為主線的塊狀編排體系，重點是問題的列，過分突出問題解決?？梢姡瞻徇@些教材給數(shù)學(xué)建模課程的教學(xué)帶來了較大的負面影響，老師難以駕馭，學(xué)生也難以理解，更重要的是難以落實數(shù)學(xué)教育專業(yè)數(shù)學(xué)建模課程應(yīng)使學(xué)生樹立“數(shù)學(xué)具有廣泛應(yīng)用性”的信念，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用的意識和能力，使學(xué)生掌握一套數(shù)學(xué)建模方法等目標，難以適應(yīng)高等學(xué)校數(shù)學(xué)教育改革的需要。

綜上所述，我們可以看出，解決數(shù)學(xué)建模課程實施中所存在的問題是課程建設(shè)與改革的重中之重，建構(gòu)符合數(shù)學(xué)教育專業(yè)實際和特色的教材以及形成一套與數(shù)學(xué)教育專業(yè)特點相適應(yīng)的、科學(xué)的教學(xué)方法是當務(wù)之急。

2.數(shù)學(xué)建模課程的改革

數(shù)學(xué)建模課程在大學(xué)的日常學(xué)習(xí)中得到了廣泛的應(yīng)用，但同時也存在許多方面的缺點，為此，我們需要來改善數(shù)學(xué)建模課程中存在的問題，來方便學(xué)生日常生活的使用。我們可以通過以下途徑來完成數(shù)學(xué)建模課程的改善：

首先，要精心設(shè)計教學(xué)案例，開展案例教學(xué)法。教學(xué)案例的選取要具有代表性、原始性、趣味性、創(chuàng)新性，要能使學(xué)生很好的融入這個案例中。對于案例的課堂教學(xué)，應(yīng)該注重兩方面，第一個方面要從實際問題出發(fā)，講清問題的背景、建模的要求和已掌握的信息，如何通過合理的假設(shè)和簡化分析建立優(yōu)化的數(shù)學(xué)模型。另外一個方面就是老師的講授必須和學(xué)生的討論相結(jié)合。

其次，把好課后建模實踐訓(xùn)練關(guān)，鞏固和深化課堂教學(xué)。為了是學(xué)生更好的學(xué)習(xí)，老師可以通過布置課后作業(yè)，組織同學(xué)們在課堂上討論，讓學(xué)生們上機操作，來熟練各種數(shù)學(xué)軟件的具體使用，做到手和腦的結(jié)合使用，以及在學(xué)完一部分知識后給同學(xué)們做定時的小測試。

再者，就是不斷提高數(shù)學(xué)老師自身的水平。為了提高老師的水平，一方面可以多派老師走出去進行專業(yè)培訓(xùn)學(xué)習(xí)和學(xué)術(shù)交流。另一方面可以多請著名的專家教授走進來做建模學(xué)術(shù)報告，使師生增長知識，拓寬視野，了解科學(xué)發(fā)展前沿的新趨勢、新動態(tài)。另外，數(shù)學(xué)老師還必須更新教育理念，不斷積累和更新專業(yè)知識，其中包括較寬廣的人文和科學(xué)素養(yǎng)。數(shù)學(xué)老師只有不斷創(chuàng)新，努力提高自身素質(zhì)，才能適應(yīng)新的形勢，符合時展的要求。

3.結(jié)語

總而言之，數(shù)學(xué)建模的內(nèi)容具有很實用的價值，對于提高學(xué)生綜合的素質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力具有重要的意義，它不僅為學(xué)生提供了一個參與實踐、勇于創(chuàng)新的平臺，也為學(xué)生的進一步發(fā)展打下了良好的基礎(chǔ)。至于數(shù)學(xué)建模課程的推廣以及進一步的改革始終是數(shù)學(xué)建模這門課程的關(guān)鍵，并有待大家進一步的思考和探索。

參考文獻：

1.阮曉青，周義倉.數(shù)學(xué)建模引論[M].北京：高等教育出版社，2005：103-200.

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關(guān)鍵詞：高考； 數(shù)學(xué)； 生活； 新課程； 教學(xué)

中圖分類號：G633．6文獻標識碼：A 文章編號：1006-3315（2014）04-056-001

全國高考一年一度，每年試卷中總會涌現(xiàn)出一些可以耐人尋味的好題。我發(fā)現(xiàn)2008年全國Ⅰ卷的文科數(shù)學(xué)選擇的第12題頗有些韻味，現(xiàn)闡述如下：

將1、2、3填入3×3的方格中，要求每行每列都沒有重復(fù)數(shù)字，下面是一種填法，

則不同的填寫方法共有（）

A、6種B、12種C、24種D、48種

解析：可以先考慮第一列，任意填，有A33＝6種填寫方法，再考慮第二列，按要求不能在行和列中出現(xiàn)重復(fù)數(shù)字，則只有2種方法，到第三列時，每行中的數(shù)字就只有固定的唯一的數(shù)字可以填進去了。所以不同的填寫方法共有6×2＝12種。

這道題的高考原型我看該是上個世紀1993年的全國考題，下面我們共同回顧一下這個題目：

同室四人各寫一張賀卡，先集中起來，然后每人從中拿一張別人送出的賀卡，則四張賀卡的不同的分配方式有（ ）

A、6種B、9種C、11種D、23種

這道“古老”的題目解法是這樣的：

第一步：四個人中的任意一人（例如A）先取一張，則由題意知共有3種取法；第二步：由第一人取走的賀卡的供卡人取，也有3種取法；第三步：由剩余的兩人中的任一人取，只有一種取法；第四步：最后一人取，只有一種取法，由分步計數(shù)原理，共3×3×1×1=9（種）

這道題目還是用窮舉法比較簡單：

如果第二步考慮第三個人，那么當?shù)谌齻€人拿第一個人的賀卡，則第三、第四步只能有一種情況(二拿四的賀卡，四拿三賀卡),若第三個人拿第四個人的賀卡，那么第三、四步有兩種可能(二拿一的賀卡，四拿三的賀卡；或二拿三的賀卡，四拿一的賀卡),這樣第一步定了之后也有1+2=3種方法，一共3×3=9種。

而這題的另一原型則是更為古老卻依然煥發(fā)著青春魅力的，在時下里非常流行的游戲――數(shù)獨。

2008年的這道高考題確實是一道好題，首先考察了考生排列組合的基本解題能力，又兼顧我們的高考歷史，使得高考試題有著自身的傳承性、規(guī)律性，同時還與當前風(fēng)靡的游戲有了粘連。可以說是汲取了歷史精華，與現(xiàn)實生活結(jié)合緊密的一道好題。

我們知道，很多文科考題，比如文綜中的政治學(xué)科總是緊扣當下時政；那么作為理科的數(shù)學(xué)又是怎樣呢？除了前面列舉的題目，我還找了幾題與您共同解析。先看這道極接地氣的題目吧，取自2013年全國普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試上海數(shù)學(xué)試卷。

錢大姐常說“便宜沒好貨”，她這句話的意思是：“不便宜”是“好貨”的（ ）

(A)充分條件(B)必要條件

(C)充分必要條件(D)既非充分也非必要條件

解析：便宜?圯沒好貨，等價于，好貨?圯不便宜，故選B。

再如2013年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試湖南卷

在平面直角坐標系xoy中，將從點M出發(fā)沿縱、橫方向到達點N的任一路徑成為M到N的一條“L路徑”。如圖6所示的路徑MM1M2M3N與路徑MN1N都是M到N的“L路徑”。某地有三個新建的居民區(qū)，分別位于平面xoy內(nèi)三點處A(3,20),B(-10,0),C(14,0)。現(xiàn)計劃在x軸上方區(qū)域（包含x軸）內(nèi)的某一點P處修建一個文化中心。

（I）寫出點P到居民區(qū)A的“L路徑”長度最小值的表達式（不要求證明）；

（II）若以原點O為圓心，半徑為1的圓的內(nèi)部是保護區(qū)，“L路徑”不能進入保護區(qū)，請確定點P的位置，使其到三個居民區(qū)的“L路徑”長度值和最小。

如圖,在矩形區(qū)域ABCD的A,C兩點處各有一個通信基站，假設(shè)其信號覆蓋范圍分別是扇形區(qū)域ADE和扇形區(qū)域CBF(該矩形區(qū)域內(nèi)無其他信號來源,基站工作正常)。若在該矩形區(qū)域內(nèi)隨機地選一地點,則該地點無信號的概率是（）

(A)1-■ (B)■-1

(C)2-■ (D)■

以上兩題，涉及了居住環(huán)境的改善、美化，也有網(wǎng)絡(luò)時代最基本的建設(shè)基站的問題，與年輕的學(xué)生很貼近。

實際上，新一輪課程改革中，也頻繁提到這些理念。新課程標準就指出，“在數(shù)學(xué)教學(xué)中，應(yīng)注重發(fā)展學(xué)生的應(yīng)用意識,通過豐富的實例引入數(shù)學(xué)知識，引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決實際問題，經(jīng)歷探索、解決問題的過程，體會數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值。幫助學(xué)生認識到：數(shù)學(xué)與我有關(guān)，與實際生活有關(guān)，數(shù)學(xué)是有用的，我要用數(shù)學(xué)，我能用數(shù)學(xué)。在有關(guān)數(shù)學(xué)的教學(xué)中，教師應(yīng)指導(dǎo)學(xué)生直接應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決一些簡單的問題；通過數(shù)學(xué)建?；顒右龑?dǎo)學(xué)生從實際情境中發(fā)現(xiàn)問題，并歸結(jié)為數(shù)學(xué)模型，嘗試用數(shù)學(xué)知識和方法去解決問題；向?qū)W生介紹數(shù)學(xué)在社會中的廣泛應(yīng)用，鼓勵學(xué)生注意數(shù)學(xué)應(yīng)用的事例，開闊他們的視野?！蔽覀儜?yīng)該深入的領(lǐng)會學(xué)習(xí)新課改理念。

所以，在今后的高考題目中，我們會越來越多的看到這樣生活氣息濃厚的高考題，比如霧霾、房（金）價、春晚、奧運會等都會成為命題很好的載體。所以，我們平時的教學(xué)中也該充分挖掘教材，不要僅僅局限在所謂“應(yīng)用題”上面，應(yīng)該廣泛的聯(lián)系生活實際，課堂上多一些“純數(shù)學(xué)”之外的話題，讓生活融入到數(shù)學(xué)中來，讓數(shù)學(xué)生活化。讓數(shù)學(xué)真正成為我們生活中可以幫助到我們的學(xué)科，讓學(xué)生體會到生活離不開數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)即生活，生活即數(shù)學(xué)。

數(shù)學(xué)學(xué)科更重要的是讓學(xué)生學(xué)會用數(shù)學(xué)，學(xué)會運用數(shù)學(xué)的知識和思想方法去解決生活中所遇到的實實在在的問題。我想，做到了這些，才真正實現(xiàn)了教學(xué)的三維目標，同時這也是素質(zhì)教育有別于應(yīng)試教育的一種具體體現(xiàn)。

參考文獻：

[1]任子朝.高考數(shù)學(xué)命題研究(續(xù))中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考[J]1994年06期

[2]章建躍.普通高中數(shù)學(xué)課程標準教材的研究與編寫[J]課程?教材?教法，2005年01期

篇4

中圖分類號：G420文獻標識碼：A文章編號：1674-4853（2013）03-0104-05

計算機理論教學(xué)的內(nèi)容偏重基礎(chǔ)性、理論性知識，不同于許多計算機課程的實用性，學(xué)生認為該課程對專業(yè)的學(xué)習(xí)無用，且又難學(xué)，影響了積極性。例如離散數(shù)學(xué)的內(nèi)容廣泛知識點還比較分散，包括多個有一定關(guān)聯(lián)的分支，學(xué)生在學(xué)習(xí)時疲于應(yīng)付各種概念定義，難以消化理解，更難以自學(xué)和提高。

其實之所以被稱為計算機專業(yè)基礎(chǔ)課，是因為離散數(shù)學(xué)在數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)與算法分析、操作系統(tǒng)、數(shù)據(jù)庫、網(wǎng)絡(luò)與分布式計算、計算機圖形學(xué)、人工智能自動機、人機交互等許許多多的方面都得到了廣泛的應(yīng)用。[1]這更要求學(xué)生學(xué)好它為后續(xù)學(xué)習(xí)打好基礎(chǔ)，所以需要針對離散數(shù)學(xué)的特性進行分析，然后在教學(xué)內(nèi)容和模式上依據(jù)多年的教學(xué)經(jīng)驗進行教學(xué)改革，希望能夠使得同學(xué)更好得接受和掌握離散數(shù)學(xué)的思想和學(xué)習(xí)方法，提高教學(xué)效果。

一、離散數(shù)學(xué)的特點

“離散數(shù)學(xué)”是計算機相關(guān)專業(yè)的專業(yè)基礎(chǔ)課程，課程概念繁多、理論性強、抽象深奧，學(xué)生學(xué)習(xí)興趣不高、難以入門和鞏固，教學(xué)效果不很理想。所以在“離散數(shù)學(xué)”教學(xué)中重點應(yīng)該是幫助學(xué)生完成“從理論到實際”的轉(zhuǎn)變，使學(xué)生逐步掌握理論過渡到應(yīng)用的方法過程；培養(yǎng)學(xué)生抽象思維能力、邏輯推理能力、歸納構(gòu)造能力和實踐創(chuàng)新能力。在開始的概論里，可以用一首自編的詩來概括離散的特征：

數(shù)學(xué)當作語文念，定理定義隨處見；

傳統(tǒng)概念重新建，應(yīng)用模型很關(guān)鍵。

以下具體分析離散數(shù)學(xué)的一些特點、難點。

（一）概念和定理多且前后銜接緊密

每章節(jié)的內(nèi)容都是建立在全新的概念之上，然后推理演繹出新的概念和定理等，接著就是這些定義定理的直接應(yīng)用。經(jīng)常概念就是定理，或者性質(zhì)，甚至概念就是運算法則，所以掌握、理解和運用這些概念和定理是學(xué)好這門課的關(guān)鍵。要特別注意概念之間的聯(lián)系，概念也要和定理、性質(zhì)聯(lián)系起來理解，再結(jié)合各種題型和數(shù)學(xué)模型來記憶。

（二）方法性強

離散數(shù)學(xué)要求的抽象思維和構(gòu)造能力較高。通過對它的學(xué)習(xí)，能大大提高我們本身的邏輯推理能力、抽象構(gòu)造能力和形式化思維能力，從而今后在學(xué)習(xí)任何一門計算機科學(xué)的專業(yè)主干課程時，都不會遇上任何思維理解上的困難。離散數(shù)學(xué)的證明題多，不同的題型會需要不同的證明方法（如直接證明法、反證法、歸納法、構(gòu)造性證明法），同一個題也可能有幾種方法。特殊的題型有特殊的對應(yīng)方法模型，必須專門強化記憶。

（三）入門難，概念的前后關(guān)聯(lián)強

由于是全新的概念或定義，且本身又非常抽象，初學(xué)者往往不能在腦海中建立起它們與現(xiàn)實世界中客觀事物的聯(lián)系，初學(xué)者不容易進入學(xué)習(xí)狀態(tài)。因此一開始必須準確、全面、完整地記住并理解所有的定義和定理。最好和已有的知識結(jié)構(gòu)建立聯(lián)系，這樣才可能更好適應(yīng)抽象的連綿不斷的概念，并為后續(xù)循序漸進的學(xué)習(xí)打下良好的基礎(chǔ)。例如，通過與學(xué)生已經(jīng)熟練掌握的中學(xué)數(shù)學(xué)的比較來進一步分析離散數(shù)學(xué)的特點。其實中學(xué)學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)歸納法、排列組合就是典型的離散數(shù)學(xué)問題。然后進一步利用“面積證明勾股定理“的過程和“著色原理證明世界上任取6人必然有3人相互認識或者不認識“兩問題進行比較分析，它們共同點都是題目抽象且給出的條件少，通過巧妙借用構(gòu)造特殊的圖形來完成證明；不同點是勾股定理證明是利用計算面積相等來完成，而后者是利用“著色模型“加上“鴿巢原理“再結(jié)合圖形空間結(jié)構(gòu)關(guān)系來完成，總結(jié)出的區(qū)別是離散數(shù)學(xué)的問題一般和圖形的大小、長短、面積等數(shù)值無關(guān)，側(cè)重于考察問題關(guān)聯(lián)、變化、約束等內(nèi)在邏輯關(guān)系。

（四）符號、圖形多

離散數(shù)學(xué)的經(jīng)典內(nèi)容包括命題邏輯、謂詞邏輯、集合、關(guān)系、代數(shù)系統(tǒng)、圖論等方面的基本知識。每章的概念、定理、證明、推導(dǎo)、解題等全部環(huán)節(jié)都需要用符號、中英文名詞術(shù)語等來表示，或者借助圖形來介紹說明。所以離散數(shù)學(xué)比其他課程要多花時間來記憶各種字符、符號、圖形，弄清楚其內(nèi)在關(guān)系和演繹過程。例如集合、笛卡爾積、關(guān)系、關(guān)系閉包、等價關(guān)系、劃分等一系列的概念是一層層疊加起來的，后面的概念都是建立在前面概念基礎(chǔ)上的，必須弄清楚其來龍去脈，否則你直接說劃分是說不清楚的。當然借助對各種符號、圖形的理解也是有利于對概念的記憶。離散數(shù)學(xué)除了教給學(xué)生離散數(shù)學(xué)知識以外，更重要的是通過嚴格的訓(xùn)練，逐步實現(xiàn)學(xué)生思維方式的數(shù)學(xué)化、符號化、計算機化。對于符號的掌握是非常重要的，因為全部的問題最后都是可以通過符號輸入指揮計算機來解決的。

（五）題型眾多且解題方法奇特

學(xué)數(shù)學(xué)就要做題目，學(xué)習(xí)不僅限于學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識，更重要的還在于學(xué)習(xí)思維方法和解決問題的能力。數(shù)學(xué)的題目數(shù)量自然是非常多的，但題目的種類卻很有限。尤其是在命題證明的過程中，最重要的是要掌握證明的思路和方法，要善于總結(jié)和歸納，仔細體會題目類型和解題套路。例如在命題邏輯中判斷推理是否正確有真值表法、直接證法、間接證法或反證法等，需要多作練習(xí)，才可以較快地領(lǐng)悟其本質(zhì)，能夠看出它所屬的類型及關(guān)聯(lián)的知識點，找到對應(yīng)的模型，就不難選用正確的解決方法。例如前綴碼問題對應(yīng)的就是最優(yōu)樹模型，通過不斷積累模型來擴展解題思路。同時在記憶模型的基礎(chǔ)上通過相應(yīng)的思維訓(xùn)練提高思維變通性，進而提高解決問題的能力。

（六）章節(jié)內(nèi)容差異大且解題思路難尋

集合、關(guān)系、邏輯、圖論和代數(shù)系統(tǒng)各章節(jié)自成體系，各部分內(nèi)容差異很大，從概念到定理到解題方法大不相同。特別是離散數(shù)學(xué)證明題的方法性是很強的，如果知道一道題屬于哪個章節(jié)，該用什么知識點和方法，那離答案就不遠了。因此在平時的學(xué)習(xí)中，要勤于思考，善于總結(jié)，在離散數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程里對概念的理解是重中之重。當題目很抽象，不能夠很明確找到對應(yīng)概念的時候，一些常規(guī)的解題思路也是需要強化給學(xué)生的，下面介紹幾種方法。

1.嘗試法。這是被運用比較廣泛的啟發(fā)法，使用所有你想到的操作手法，嘗試著看看能不能得到有用的結(jié)論或者邊界點、特例等，盡量離答案近一點，通過窮舉各種允許或不允許的可能性來尋找那些關(guān)鍵的性質(zhì)。窮舉法也是本辦法的一個特例，窮舉法不一定就是最笨的辦法。

2.結(jié)論分析法。結(jié)論往往蘊含著豐富的條件，譬如對什么樣的解才是滿足題意的解的約束。借助結(jié)論中蘊含的內(nèi)容，可以為題目提供更多信息量和縮小思考范圍。

3.縮放條件法（如刪除、增加、改變條件）。有時候通過調(diào)整題目的條件，我們往往迅速能夠發(fā)現(xiàn)條件和結(jié)論之間是如何聯(lián)系的。通過扭曲問題的內(nèi)部結(jié)構(gòu)，我們能發(fā)現(xiàn)原本結(jié)構(gòu)里面重要的東西。

4.抽象具體法。求解一個抽象的題目先解決一個類似的具體題目，或者由具體到抽象。將問題泛化，并求解這個泛化后的問題。類似的題目也許有類似的結(jié)構(gòu)，類似的性質(zhì)，類似的解決方案。通過考察或回憶一個類似的題目是如何解決的，也許就能夠借用一些重要的點子。

5.對立面法或反證法。實在沒有辦法了，還可以列出所有可能跟問題有關(guān)的概念、定理或性質(zhì)，來尋找和題目的聯(lián)系，發(fā)現(xiàn)思路，這是一種經(jīng)常被使用的方法。

通過以上五個方面的特點分析和一些經(jīng)驗對策的介紹，已經(jīng)可以說明離散數(shù)學(xué)的教學(xué)難點和需要改進加強的環(huán)節(jié)。在教學(xué)中還可以進一步總結(jié)突出離散數(shù)學(xué)，其可以被看作是數(shù)學(xué)的前傳、是符號的語言，與一般的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法大不相同。

二、教學(xué)內(nèi)容改革和模式變化

離散數(shù)學(xué)的教學(xué)目標重點是為進一步學(xué)習(xí)其他計算機課程打基礎(chǔ)，培養(yǎng)學(xué)生計算機模式的思維推理能力，提高學(xué)生利用數(shù)學(xué)知識和模型解決實際問題的能力。所有這些需要優(yōu)化理論教學(xué)，重視實踐性教學(xué)環(huán)節(jié)，強調(diào)培養(yǎng)學(xué)生養(yǎng)成形式化思維和解決問題能力，使得學(xué)生在學(xué)習(xí)其他計算機應(yīng)用課程時，遇上困難知道如何去理解問題、歸納推理、尋求解決方法。要以教師為主導(dǎo)來組織、引導(dǎo)學(xué)生的學(xué)習(xí)，特別是培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和自主學(xué)習(xí)能力。所以教學(xué)內(nèi)容應(yīng)該更豐富、媒體形式更多樣、手段更科學(xué)、理念更先進，模式更新穎。例如網(wǎng)絡(luò)教學(xué)、多媒體教學(xué)、啟發(fā)式教學(xué)、發(fā)現(xiàn)式教學(xué)、案例教學(xué)、游戲式教學(xué)等。

要達到上述要求，就需要拓展教學(xué)內(nèi)容和空間，加強與后續(xù)專業(yè)課程的聯(lián)系與銜接。多結(jié)合實踐案例和游戲模型來提高興趣，多留些趣味、應(yīng)用型的思考題，“積小錯為大錯、以游戲換經(jīng)驗”，因為游戲多是有數(shù)學(xué)模型的，通過思考題來發(fā)現(xiàn)問題，積累分析解題的經(jīng)驗，此外還需要突出重點，強調(diào)特點。由于補充了大量課外內(nèi)容，所以在教學(xué)課時不夠的情況下可以舍棄一些次要內(nèi)容以保障重點內(nèi)容的教學(xué)質(zhì)量，并且對簡單點的內(nèi)容安排自學(xué)不做重點考核，這樣也可以提高自主學(xué)習(xí)能力。

（一）教學(xué)內(nèi)容的組織和更新

離散數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容比較“散”，而且難。講課時盡可能結(jié)合一些實際問題，特別是與計算機有關(guān)的問題，突出重點，強調(diào)前后聯(lián)系和概念關(guān)聯(lián)性。這樣既提高了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，又使得學(xué)生更好地體會離散數(shù)學(xué)對研究計算機科學(xué)的重要性。例如圖論和集合論為數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)和數(shù)據(jù)表示理論奠定了數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，也為許多問題從算法角度如何加以解決提供了進行抽象和描述的重要方法。在講解圖論中通路與回路概念時，給出它們在研究操作系統(tǒng)是否存在死鎖，自動機的初始狀態(tài)和結(jié)束狀態(tài)是否可達，程序設(shè)計語言中一個過程是否遞歸等方面的應(yīng)用。數(shù)理邏輯是研究推理的學(xué)科，在人工智能、數(shù)據(jù)庫理論等的研究中有著重要的應(yīng)用。激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，進一步加強學(xué)生理論聯(lián)系實際的能力。

在組織教學(xué)內(nèi)容時注重離散數(shù)學(xué)與前后的計算機課程結(jié)合。即在課堂講解時，盡可能多地介紹離散數(shù)學(xué)與相關(guān)課程的銜接，讓學(xué)生清楚地認識到離散數(shù)學(xué)不是一門普通的公共數(shù)學(xué)課。例如，在數(shù)理邏輯部分講解命題聯(lián)結(jié)詞時，考慮到學(xué)生在先修課數(shù)字邏輯中動手設(shè)計過邏輯電路圖，以此為切入點進行類比講解。在集合論部分講解二元關(guān)系時，以后續(xù)選修課數(shù)字圖像處理中的二維直方圖為例進行講解。在圖論部分講解最小生成樹、最短路徑時，講清該知識點與后續(xù)必修課數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)中相關(guān)知識點的關(guān)聯(lián)性。還可以介紹學(xué)科前沿的最新動態(tài)，直接體會課程的“實用性”，激發(fā)科研熱情、提高自主學(xué)習(xí)的興趣。

教學(xué)內(nèi)容革新方面特別要注重與實際應(yīng)用或可動手操作的相關(guān)實例的結(jié)合。包括各種游戲、案例、實際應(yīng)用等，可以作為介紹概念時的引例或參照物，也可以作為課后趣味題、應(yīng)用題、拓展題。還可以穿插結(jié)合心理學(xué)、人生觀、價值觀、挫折教育等方面的生活勵志故事，拓展教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)思路，開拓學(xué)生視野，增強他們理解、推理能力和參與社會實踐能力。同時考慮到學(xué)生基礎(chǔ)、學(xué)時限制等，適當降低傳統(tǒng)理論教學(xué)內(nèi)容的難度，側(cè)重于基本概念、原理的應(yīng)用。為保持課程教學(xué)體系的完整性，偏難的理論性內(nèi)容選講、少講或簡單介紹，適當增加與計算機應(yīng)用密切相關(guān)的實踐上機學(xué)時，對學(xué)生較感興趣或應(yīng)用性較強的內(nèi)容增設(shè)課外實踐環(huán)節(jié)，以興趣小組的形式延續(xù)課堂教學(xué)內(nèi)容。（見表1）

（二）教學(xué)模式的選擇

教學(xué)模式是教學(xué)活動的基本結(jié)構(gòu)，科學(xué)合理地選擇教學(xué)模式有助于優(yōu)化教學(xué)過程、提高教學(xué)質(zhì)量，常常能起到事半功倍的教學(xué)效果。

范例教學(xué)模式是指遵循人的認知規(guī)律，從個別到一般、從具體到抽象，從范例分析入手，逐步提煉、歸納和總結(jié)。例如通過幾個有趣的例子分別展示課程的4大模塊，即以“理發(fā)師悖論”為例引導(dǎo)出集合論模塊；以“警察斷案”為例引導(dǎo)出數(shù)理邏輯模塊；以“七橋問題”為例引導(dǎo)出圖論模塊；以“布爾邏輯電路”為例引導(dǎo)出代數(shù)系統(tǒng)模塊。但是僅僅請學(xué)生根據(jù)常識知識給出答案還不夠，還要通過這些例子生動地介紹離散數(shù)學(xué)的實際應(yīng)用，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，然后才引出主題。并且在后續(xù)講解中保持類似的教學(xué)模式，利用上表里列舉的各種游戲、案例、實際應(yīng)用、趣味數(shù)學(xué)和編程題目來講述一些知識難點，避免了一般理論性介紹的枯燥，能充分調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性。

1.啟發(fā)式模式。以問題解決為中心，設(shè)定情境、提出問題，然后組織學(xué)生猜想或做出假設(shè)性的解釋，進而驗證并總結(jié)規(guī)律。例如，以“一筆畫”為出發(fā)點，啟發(fā)學(xué)生思考其特點，進一步總結(jié)出歐拉圖的定義和性質(zhì)；在代數(shù)系統(tǒng)部分，以小學(xué)的加減乘除法為出發(fā)點，啟發(fā)學(xué)生思考這些運算的異同，從而引申出代數(shù)系統(tǒng)的一般性基本概念；以“九連環(huán)”游戲的重復(fù)操作過程來比擬對二叉樹的遍歷等等。用一個具體可見的模型或者問題來說明抽象復(fù)雜的新概念，這樣學(xué)生易于接受，并且不會因為一下子迷惑而產(chǎn)生抵觸情緒。

2.上機實踐模式。拓展編程，提高設(shè)計實踐能力和興趣。例如編寫程序?qū)线M行定義和操作，求兩個集合的交集，或求兩個集合的笛卡爾乘積；“八皇后”問題的程序設(shè)計，或者用做好的“八皇后”程序來分析其內(nèi)部數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)和算法；結(jié)合參加數(shù)學(xué)建模或ACM競賽，這樣同學(xué)們就更重視了。

還可以演示某些手機在拍照的同時將GPS信息記錄的過程，通過這個過程來介紹數(shù)字水印、MD5、GPS和電子證據(jù)等計算機相關(guān)理論知識。然后利用計算機、數(shù)碼相機以及相關(guān)軟件進行模擬實驗驗證該過程。并且通過實驗課讓學(xué)生動手來制作數(shù)碼照片的數(shù)字水印、計算MD5值，利用數(shù)字隱藏軟件在數(shù)碼照片里隱藏數(shù)字信息。這一系列實驗即結(jié)合應(yīng)用了信息安全技術(shù)，又增加了對電子證據(jù)證明力的理解。這樣的教學(xué)實驗過程簡單易懂又靈活多變，最主要是通過簡單的操作卻能夠馬上看見復(fù)雜的操作結(jié)果，又能夠幫助理解抽象的理論知識。這樣的的教學(xué)手段更能夠激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，進而增強學(xué)生解決實際問題的能力。

3.換位教學(xué)模式，可以讓學(xué)生備課、講課和點評，產(chǎn)生新鮮感和責(zé)任感，體會老師工作辛勞。通過換位可以站在對方的角度思考，體驗對方的想法，產(chǎn)生互動、共鳴。學(xué)生參與備課，在查閱材料的過程中去理解、深化內(nèi)涵，拓寬外延，體驗“再發(fā)現(xiàn)”過程；分組備課、制作課件、講課，鼓勵各種新想法及創(chuàng)意，培養(yǎng)學(xué)生動手能力和團隊協(xié)作精神；同學(xué)間的補充、點評和考核，讓學(xué)生在實踐中吸取經(jīng)驗教訓(xùn)，更容易發(fā)現(xiàn)自己平時易忽視易錯的知識點；老師也可以站在學(xué)生的角度思考如何講解讓學(xué)生更容易接受，最后通過點評和總結(jié)起到畫龍點睛的作用。另外給敢于表現(xiàn)的學(xué)生加分鼓勵，因為“十次說教不如一次表揚，十次表揚不如一次成功。”對這種形式的換位，可以加深學(xué)生對所學(xué)知識的理解，而且可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，更能培養(yǎng)和鍛煉學(xué)生的獨立思考能力、語言表達能力，成為學(xué)習(xí)的主人。營造一種人人參與的氛圍，還能活躍課堂氣氛、拉近老師和學(xué)生的距離，有利于培養(yǎng)學(xué)生綜合運用知識和解決問題的能力。

構(gòu)建多維、多層、多方位教學(xué)手段，將課堂講授、專題討論、上機實習(xí)、課外自學(xué)等有機結(jié)合，鼓勵學(xué)生真正成為學(xué)習(xí)的主體。同時，打破一考定勝負的傳統(tǒng)考核機制，綜合考察學(xué)生在各種教學(xué)形式中的表現(xiàn)，課程考核采用總成績=筆試（50%）+平時成績（20%）+上機實踐（20%）+創(chuàng)新能力（10%）的形式，打造多維教學(xué)模式和評價體系。

三、總結(jié)

計算機科學(xué)的理論教學(xué)抽象程度高，需要進一步探索課程的教學(xué)改革，合理組織教學(xué)內(nèi)容、有效選擇教學(xué)模式、高效運用教學(xué)手段、適當增加實踐環(huán)節(jié)，達到滿意的教學(xué)效果。以提高學(xué)生自主學(xué)習(xí)的興趣、培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)的能力為突破口，進行教學(xué)革新，對學(xué)生后續(xù)課程的學(xué)習(xí)具有較強的現(xiàn)實意義。

另外，也要提高對教師的要求，教師不僅要有較深厚的計算機專業(yè)理論基礎(chǔ)，能把離散數(shù)學(xué)等基礎(chǔ)專業(yè)理論課程和其他課程結(jié)合，合縱連橫，講深講透，還要精心準備、收集選擇好的教學(xué)案例和素材，結(jié)合合適的教學(xué)方法和教學(xué)規(guī)律，有針對性選用啟發(fā)式教學(xué)方式。我院計算機專業(yè)自實施離散數(shù)學(xué)教學(xué)改革以來，以培養(yǎng)學(xué)生實踐動手能力和抽象思維推理能力為目標，教學(xué)內(nèi)容的更新和多種教學(xué)模式激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，增強了學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性和解決實際問題的能力。

篇5

能力是指主體能勝任某項任務(wù)的主觀條件。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，學(xué)生的數(shù)學(xué)能力與他們的知識基礎(chǔ)和心理特征有關(guān)。技能是指依據(jù)一定的規(guī)則和程序去完成專門任務(wù)(解決特定的問題)的能力。顯然，技能和能力都與知識密不可分；但學(xué)生在任務(wù)(問題)面前如何對知識和運用這些知識的途徑進行選擇，使得完成任務(wù)(解決問題)達到多快好省，則是一項超越知識本身的心理活動。因此，把知識、技能和能力三者并列起來是合理的；但也應(yīng)看清楚，這三者的順序是由低到高，在教育、教學(xué)的意義下是后者更重于前者。

一、歷史的回顧

我國的中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱，對于數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法的重要性的認識也有一個從低到高的過程。

由中華人民共和國教育部制訂、1978年2月第1版的《全日制十年制學(xué)校中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱(試行草案)》，在第2頁“教學(xué)內(nèi)容的確定”的第(三)條中首次指出：“把集合、對應(yīng)等思想適當滲透到教材中去，這樣，有利于加深理解有關(guān)教材，同時也為進一步學(xué)習(xí)作準備?！边@一大綱在1980年5月第2版時維持了上述規(guī)定。

由中華人民共和國國家教育委員會制訂、1986年12月第1版的《全日制中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱》，在第2頁“教學(xué)內(nèi)容的確定”的第(三)條中，把上述大綱的有關(guān)文字改成一句話：“適當滲透集合、對應(yīng)等數(shù)學(xué)思想”。1990年修訂此大綱時，維持了這一規(guī)定。

由中華人民共和國國家教育委員會制訂、1992年6月第1版的《九年義務(wù)教育全日制初級中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱(試用)》，在第1頁“教學(xué)目的”中規(guī)定：“初中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識主要是初中代數(shù)、幾何中的概念、法則、性質(zhì)、公式、公理、定理以及由其內(nèi)容所反映出來的數(shù)學(xué)思想和方法?！边@份大綱還第一次把資深的數(shù)學(xué)工作者們熟知的提法“數(shù)學(xué)，它的內(nèi)容、方法和意義”改為數(shù)學(xué)的“內(nèi)容、思想、方法和語言已廣泛滲入自然科學(xué)和社會科學(xué)，成為現(xiàn)代文化的重要組成部分”，并把這段話放入總論的第一段。在第9頁上又指出，要“使學(xué)生掌握消元、降次、配方、換元等常用的數(shù)學(xué)方法，解決某些數(shù)學(xué)問題，理解‘特殊棗一般棗特殊’、‘未知棗已知’、用字母表示數(shù)、數(shù)形結(jié)合和把復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化成簡單問題等基本的思想方法”；在第6頁上還指出，“要注意充分發(fā)揮練習(xí)的作用，加強對解題的正確指導(dǎo)，應(yīng)注意引導(dǎo)學(xué)生從解題的思想方法上作必要的概括?！豹?/p>

由國家教育委員會基礎(chǔ)教育司編訂、1996年5月第1版的《全日制普通高級中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱(供試驗用)》，在第2頁“教學(xué)目的”中也規(guī)定：“高中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識是指：高中數(shù)學(xué)中的概念、性質(zhì)、法則、公式、公理、定理以及由其內(nèi)容反映出來的數(shù)學(xué)思想和方法?！痹诮缍ā八季S能力”一詞的四個主要層面時，指出第三層面是“會合乎邏輯地、準確地闡述自己的思想和觀點”；第四層面是“能運用數(shù)學(xué)概念、思想和方法，辨明數(shù)學(xué)關(guān)系，形成良好的思維品質(zhì)”。這份大綱維持了數(shù)學(xué)的“內(nèi)容、思想、方法和語言已成為現(xiàn)代文化的重要組成部分”的提法(第1頁)；并指出數(shù)學(xué)規(guī)律“包括公理、性質(zhì)、法則、公式、定理及其聯(lián)系，數(shù)學(xué)思想、方法和語言”(第24頁)；堅持在對解題進行指導(dǎo)時，應(yīng)該“對解題的思想方法作必要的概括”(第25頁)。這是建國以來對數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法關(guān)注最多的一份中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱，充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)教育工作者對于數(shù)學(xué)課程發(fā)展的一些共識。

二、數(shù)學(xué)思想方法

(一)思想、科學(xué)思想和數(shù)學(xué)思想

思想是客觀存在反映在人的意識中經(jīng)過思維活動而產(chǎn)生的結(jié)果。它是從大量的思維活動中獲得的產(chǎn)物，經(jīng)過反復(fù)提煉和實踐，如果一再被證明為正確，就可以反復(fù)被應(yīng)用到新的思維活動中，并產(chǎn)生出新的結(jié)果。本文所指的思想，都是那些顛撲不破、屢試不爽的思維產(chǎn)物。因此，對于學(xué)習(xí)者來說，思想就成為他們進行思維活動的細胞和基礎(chǔ)；思想和下面述及的方法都是他們的思維活動的載體。每門科學(xué)都逐漸形成了它自己的思想，而科學(xué)法則概括出各門科學(xué)共同遵循和運用的一些科學(xué)思想。

所謂數(shù)學(xué)思想，是指現(xiàn)實世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系反映到人的意識之中，經(jīng)過思維活動而產(chǎn)生的結(jié)果，它是對數(shù)學(xué)事實與數(shù)學(xué)理論的本質(zhì)認識。首先，數(shù)學(xué)思想比一般說的數(shù)學(xué)概念具有更高的抽象和概括水平，后者比前者更具體、更豐富，而前者比后者更本質(zhì)、更深刻。其次，數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)觀點、數(shù)學(xué)方法三者密不可分：如果人們站在某個位置、從某個角度并運用數(shù)學(xué)去觀察和思考問題，那么數(shù)學(xué)思想也就成了一種觀點。而對于數(shù)學(xué)方法來說，思想是其相應(yīng)的方法的精神實質(zhì)和理論基礎(chǔ)，方法則是實施有關(guān)思想的技術(shù)手段。中學(xué)數(shù)學(xué)中出現(xiàn)的數(shù)學(xué)觀點(例如方程觀點、函數(shù)觀點、統(tǒng)計觀點、向量觀點、幾何變換觀點等)和各種數(shù)學(xué)方法，都體現(xiàn)著一定的數(shù)學(xué)思想。

數(shù)學(xué)思想是一類科學(xué)思想，但科學(xué)思想未必就單單是數(shù)學(xué)思想。例如，分類思想是各門科學(xué)都要運用的思想(比方語文分為文學(xué)、語言和寫作，外語分為聽、說、讀、寫和譯，物理學(xué)分為力學(xué)、熱學(xué)、聲學(xué)、電學(xué)、光學(xué)和原子核物理學(xué)，化學(xué)分為無機化學(xué)和有機化學(xué)，生物學(xué)分為植物學(xué)、動物學(xué)和人類學(xué)等；中學(xué)生見到的最漂亮的分類應(yīng)該是在學(xué)習(xí)哺乳綱動物時所出現(xiàn)的門(亞門)、綱(亞綱)、目(亞目)、屬、科、種的分類表，它不是單由數(shù)學(xué)給予的。只有將分類思想應(yīng)用于空間形式和數(shù)量關(guān)系時，才能成為數(shù)學(xué)思想。如果用一個詞語“邏輯劃分”作為標準，那么，當該邏輯劃分與數(shù)理有關(guān)時(可稱之為“數(shù)理邏輯劃分”)，可以說是運用數(shù)學(xué)思想；當該邏輯劃分與數(shù)理無直接關(guān)系時(例如把社會中的各行各業(yè)分為工、農(nóng)、兵、學(xué)、商等)，不應(yīng)該說是運用數(shù)學(xué)思想。同樣地，當且僅當哲學(xué)思想(例如一分為二的思想、量質(zhì)互變的思想和肯定否定的思想)在數(shù)學(xué)中予以大量運用并且被“數(shù)學(xué)化”了時，它們也可以稱之為數(shù)學(xué)思想。

(二)數(shù)學(xué)思想中的基本數(shù)學(xué)思想

在數(shù)學(xué)思想中，有一類思想是體現(xiàn)或應(yīng)該體現(xiàn)于基礎(chǔ)數(shù)學(xué)中的具有奠基性和總結(jié)性的思維成果，這些思想可以稱之為基本數(shù)學(xué)思想?；緮?shù)學(xué)思想含有傳統(tǒng)數(shù)學(xué)思想的精華和近現(xiàn)代數(shù)學(xué)思想的基本特征，并且也是歷史地形成和發(fā)展著的。

基本數(shù)學(xué)思想包括：符號與變元表示的思想，集合思想，對應(yīng)思想，公理化與結(jié)構(gòu)思想，數(shù)形結(jié)合的思想，化歸的思想，對立統(tǒng)一的思想，整體思想，函數(shù)與方程的思想，抽樣統(tǒng)計思想，極限思想(或說無限逼近思想)等。它有兩大“基石”棗符號與變元表示的思想和集合思想，又有兩大“支柱”棗對應(yīng)思想和公理化與結(jié)構(gòu)思想。有些基本數(shù)學(xué)思想是從“基石”和“支柱”衍生出來的，例如“函數(shù)與方程的思想”衍生于符號與變元表示的思想(函數(shù)式或方程式)、集合思想(函數(shù)的定義域或方程中字母的取值范圍)和對應(yīng)思想(函數(shù)的對應(yīng)法則或方程中已知數(shù)、未知數(shù)的值的對應(yīng)關(guān)系)。所以我們說基本數(shù)學(xué)思想是體現(xiàn)或應(yīng)該體現(xiàn)于“基礎(chǔ)數(shù)學(xué)”(而不是說“初等數(shù)學(xué)”)的具有奠基性和總結(jié)性的思維成果。基本數(shù)學(xué)思想及其衍生的數(shù)學(xué)思想，形成了一個結(jié)構(gòu)性很強的網(wǎng)絡(luò)。中學(xué)數(shù)學(xué)教育、教學(xué)中傳授的數(shù)學(xué)思想，應(yīng)該都是基本數(shù)學(xué)思想。

非科學(xué)思想當然也是大量存在的。例如，“崇洋媚外”的思想就是一種非科學(xué)思想。

中學(xué)數(shù)學(xué)教科書中處處滲透著基本數(shù)學(xué)思想。如果能使它落實到學(xué)生學(xué)習(xí)和運用數(shù)學(xué)的思維活動上，它就能在發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)能力方面發(fā)揮出一種方法論的功能。

(三)思路、思緒和思考

我們在中學(xué)數(shù)學(xué)教育、教學(xué)中，還經(jīng)常使用著“思路”和“思緒”這兩個詞語。一般說來，“思路”是指思維活動的線索，可視為以串聯(lián)、并聯(lián)或網(wǎng)絡(luò)形狀出現(xiàn)的思想和方法的載體，而“思緒”是指思想的頭緒?！八悸贰焙汀八季w”實際上是同義詞，并且它們都是名詞。

那么，另一個詞語“思考”又是什么意思呢?“思考”就是進行比較深刻、周到的思維活動。作為動詞，它反映了主體把思想、方法、串聯(lián)、并聯(lián)或用網(wǎng)絡(luò)組織起來以解決問題的思維過程。由此可見，“思考”所產(chǎn)生的有效途徑就是“思路”或“思緒”；“思路”或“思緒”是“思考”的結(jié)果，是思想、方法的某種選擇和組織，且明顯帶有程序性。對思路及其所含思想、方法的選擇和組織的水平，反映了學(xué)習(xí)者能力的差異。

(四)方法和數(shù)學(xué)方法

所謂方法，是指人們?yōu)榱诉_到某種目的而采取的手段、途徑和行為方式中所包含的可操作的規(guī)則或模式。人們通過長期的實踐，發(fā)現(xiàn)了許多運用數(shù)學(xué)思想的手段、門路或程序。同一手段、門路或程序被重復(fù)運用了多次，并且都達到了預(yù)期的目的，便成為數(shù)學(xué)方法。數(shù)學(xué)方法是以數(shù)學(xué)為工具進行科學(xué)研究的方法，即用數(shù)學(xué)語言表達事物的狀態(tài)、關(guān)系和過程，經(jīng)過推導(dǎo)、運算和分析，以形成解釋、判斷和預(yù)言的方法。

數(shù)學(xué)方法具有以下三個基本特征：一是高度的抽象性和概括性；二是精確性，即邏輯的嚴密性及結(jié)論的確定性；三是應(yīng)用的普遍性和可操作性。

數(shù)學(xué)方法在科學(xué)技術(shù)研究中具有舉足輕重的地位和作用：一是提供簡潔精確的形式化語言，二是提供數(shù)量分析及計算的方法，三是提供邏輯推理的工具。現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)特別是電腦的發(fā)展，與數(shù)學(xué)方法的地位和作用的強化正好是相輔相成。

宏觀的數(shù)學(xué)方法包括：模型方法，變換方法，對稱方法，無窮小方法，公理化方法，結(jié)構(gòu)方法，實驗方法。微觀的且在中學(xué)數(shù)學(xué)中常用的基本數(shù)學(xué)方法大致可以分為以下三類：

(1)邏輯學(xué)中的方法。例如分析法(包括逆證法)、綜合法、反證法、歸納法、窮舉法(要求分類討論)等。這些方法既要遵從邏輯學(xué)中的基本規(guī)律和法則，又因運用于數(shù)學(xué)之中而具有數(shù)學(xué)的特色。

(2)數(shù)學(xué)中的一般方法。例如建模法、消元法、降次法、代入法、圖象法(也稱坐標法。代數(shù)中常用圖象法，解析幾何中常用坐標法)、向量法、比較法(數(shù)學(xué)中主要是指比較大小，這與邏輯學(xué)中的多方位比較不同)、放縮法、同一法、數(shù)學(xué)歸納法(這與邏輯學(xué)中的不完全歸納法不同)等。這些方法極為重要，應(yīng)用也很廣泛。

(3)數(shù)學(xué)中的特殊方法。例如配方法、待定系數(shù)法、加減法、公式法、換元法(也稱之為中間變量法)、拆項補項法(含有添加輔助元素實現(xiàn)化歸的數(shù)學(xué)思想)、因式分解諸方法，以及平行移動法、翻折法等。這些方法在解決某些數(shù)學(xué)問題時起著重要作用，不可等閑視之。

(五)方法和招術(shù)

如上所述，方法是解決思想、行為等問題的門路和程序，是思想的產(chǎn)物，是包含或體現(xiàn)著思想的一套程序，它既可操作又可仿效。在選擇并實施方法的前期過程中，反映了學(xué)習(xí)者的能力和技能的高低；而在后期過程中，只反映了學(xué)習(xí)者的技能的差異。

所謂“招術(shù)”“招”字應(yīng)正為“著”字，本文仍用傳統(tǒng)的“一招一式”的說法。是指解決特殊問題的專用計策或手段，純屬于技能而不屬于能力。“招”的教育價值遠低于“法”(這里的“法”指“通法”)的價值?！胺ā钡目煞滦詭в休^為“普適”的意義，而“招”的“普適”要差得多；實施“招”要以能實施管著它的“法”為前提。

例如，待定系數(shù)法是一種特別有用的“法”。求二次函數(shù)的解析式時，用待定系數(shù)法根據(jù)圖象上三個點的坐標求出解析式可看作第一“招”；根據(jù)頂點和另一點的坐標求出解析式可看作第二“招”；根據(jù)與x軸交點和另一點的坐標求出解析式可看作第三“招”。這三“招”各有奇妙之處。哪一“招”更好使用，要看條件和管著它們的“法”而定。教師授予學(xué)生“用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式”，最根本、最要緊的“法旨”就在于讓學(xué)生明確二次函數(shù)的解析式中自變量、函數(shù)值和圖象上點的橫、縱坐標的對應(yīng)關(guān)系；對于一般的點和特殊的點(例如頂點及與x軸的交點)，解析式可以有什么不同的反映。而這樣的“法旨”，恰恰體現(xiàn)了對應(yīng)思想和數(shù)形結(jié)合的思想。由此看來，我國古代傳說中經(jīng)常提到的某些師傅對待弟子“給‘招’不給‘法’”的現(xiàn)象，在現(xiàn)代的數(shù)學(xué)教育、教學(xué)中應(yīng)該盡量避免。

三、中學(xué)數(shù)學(xué)教科書中應(yīng)該傳授的基本數(shù)學(xué)思想和方法

(一)中學(xué)數(shù)學(xué)教科書中應(yīng)該傳授的基本數(shù)學(xué)思想

中學(xué)數(shù)學(xué)教科書擔負著向?qū)W生傳授基本數(shù)學(xué)思想的責(zé)任，在程度上有“滲透”、“介紹”和“突出”之分。　 1.滲透?！皾B透”就是把某些抽象的數(shù)學(xué)思想逐漸“融進”具體的、實在的數(shù)學(xué)知識中，使學(xué)生對這些思想有一些初步的感知或直覺，但還沒有從理性上開始認識它們。要滲透的有集合思想、對應(yīng)思想、公理化與結(jié)構(gòu)思想、抽樣統(tǒng)計思想、極限思想等。前三種基本數(shù)學(xué)思想從初中一年級就開始滲透了，并貫徹于整個中學(xué)階段；抽樣統(tǒng)計思想可從初中三年級開始滲透，極限思想也可從初中三年級的教科書中安排類似于“關(guān)于圓周率π”這樣的閱讀材料開始滲透。至于公理化與結(jié)構(gòu)思想，要注意根據(jù)人類的認識規(guī)律，一開始就采取擴大的公理體系。例如，教科書既可以把“同位角相等，兩直線平行”和它的逆命題都當作公理，也可以把判定兩個三角形全等的三個命題“邊角邊”、“角邊角”和“邊邊邊”都當作公理。

這種滲透是隨年級逐步深入的。例如集合思想，初中是用文氏圖或列舉法來表示集合，不等式(組)的解集可以用數(shù)軸表示或用不等式(組)表示；高中則是列舉法、描述法、文氏圖三者并舉，并同時允許用不等式(組)、區(qū)間或集合的描述法來表示實數(shù)集的某些子集。又如對應(yīng)思想，初中只用文字、數(shù)軸或平面直角坐標系來講對應(yīng)；高中則在此基礎(chǔ)上引入了使用符號語言的對應(yīng)法則。至于公理化與結(jié)構(gòu)思想、抽樣統(tǒng)計思想和極限思想在初、高中階段的不同滲透水平，則是眾所周知的?！皾B透”到一定程度，就是“介紹”的前奏了。

2.介紹。“介紹”就是把某些數(shù)學(xué)思想在適當時候明確“引進”到數(shù)學(xué)知識中，使學(xué)生對這些思想有初步理解，這是理性認識的開始。要介紹的有符號與變元表示的思想、數(shù)形結(jié)合的思想、化歸的思想、函數(shù)與方程的思想、抽樣統(tǒng)計思想、極限思想等。這種介紹也是隨年級逐步增加的。有的思想從初中一年級起就開始介紹(例如前四種基本數(shù)學(xué)思想)，有的則是先滲透后介紹(例如后兩種基本數(shù)學(xué)思想)。“介紹”與“滲透”的基本區(qū)別在于：“滲透”只要求學(xué)生知道有什么思想和是什么思想，而“介紹”則要求學(xué)生在此基礎(chǔ)上進而知道為什么叫做思想(含思想的要素和特征)、用什么思想(含思想的用途)并學(xué)會運用。作為補充，也可以就問題適時地向?qū)W生介紹如何運用一分為二的思想和整體思想。

3.突出。“突出”就是把某些數(shù)學(xué)思想經(jīng)常性地予以強調(diào)，并通過大量的綜合訓(xùn)練而達到靈活運用。它是在介紹的基礎(chǔ)上進行的，目的在于最大限度地發(fā)揮這些數(shù)學(xué)思想的功能。要突出的有數(shù)形結(jié)合的思想、化歸的思想、函數(shù)與方程的思想等。這些基本數(shù)學(xué)思想貫穿于整個中學(xué)階段，最重要、最常用，是中學(xué)數(shù)學(xué)的精髓，也最能長久保存在人一生的記憶之中?！敖榻B”與“突出”的基本區(qū)別在于：“介紹”只要求學(xué)生知道用什么和會用，而“突出”則要求學(xué)生在此基礎(chǔ)上進而知道選用和善用。作為補充，也可以就數(shù)學(xué)問題經(jīng)常向?qū)W生突出分類思想的運用。

(二)中學(xué)數(shù)學(xué)教科書中應(yīng)該傳授的基本數(shù)學(xué)方法

在傳授基本數(shù)學(xué)方法方面，仍如義務(wù)教育初中數(shù)學(xué)教學(xué)大綱所界定的，有“了解”、“理解”、“掌握”和“靈活運用”這四個層次。這四個層次的含義也可以遵照該大綱中的提法(第8頁腳注)，新的高中數(shù)學(xué)教學(xué)大綱(供試驗用。本文下面所述“高中大綱”均指此大綱)維持了這些提法(第4頁腳注)。分別屬于這四個層次的基本數(shù)學(xué)方法的例子有：“了解數(shù)學(xué)歸納法的原理”(高中大綱第9頁)，“了解用坐標法研究幾何問題”(高中大綱第10頁)；“理解‘消元’、‘降次’的數(shù)學(xué)方法”(初中大綱第19頁)；“掌握分析法、綜合法、比較法等幾種常用方法證明簡單的不等式(高中大綱第6頁)”；“靈活運用一元二次方程的四種解法求方程的根”(初中大綱第17頁。四種解法指直接開平方法、配方法、公式法和因式分解法)。在這方面，大綱的規(guī)定是比較明確的。