數(shù)學(xué)學(xué)科主要是研究數(shù)量和圖形之間的內(nèi)在關(guān)系，而圖形數(shù)學(xué)是數(shù)學(xué)中很重要的組成部分。數(shù)學(xué)學(xué)科中的立體幾何就是研究空間圖形和數(shù)量關(guān)系的實(shí)際應(yīng)用。學(xué)生學(xué)習(xí)立體幾何能夠開(kāi)發(fā)發(fā)散性思維，提高學(xué)生的空間想象力。立體幾何雖然抽象，但如果老師們能夠運(yùn)用正確的方法來(lái)引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)立體幾何，或許對(duì)于學(xué)生們來(lái)說(shuō)就不會(huì)那么吃力了。立體幾何是空間圖形的重要因素，也是研究一般空間圖形性質(zhì)的重要依據(jù)。對(duì)于初次學(xué)習(xí)立體幾何的人來(lái)說(shuō)，在學(xué)習(xí)的時(shí)候想要畫(huà)出一張平面圖可能比較吃力，但是對(duì)于高中生來(lái)說(shuō)，他們已經(jīng)有了一點(diǎn)立體幾何的基礎(chǔ)，所以高中生應(yīng)該更深入地學(xué)習(xí)立體幾何，嘗試著畫(huà)出三維的立體圖形。下面，筆者結(jié)合工作實(shí)踐談幾點(diǎn)自己的看法。

一、電子白板下的立體幾何教學(xué)

立體幾何是一門(mén)枯燥的數(shù)學(xué)學(xué)科，學(xué)生們?cè)趯W(xué)習(xí)時(shí)，如果提不起興趣，那么學(xué)習(xí)立體幾何的目標(biāo)也就不會(huì)達(dá)到，很難去通過(guò)學(xué)習(xí)立體幾何來(lái)培養(yǎng)學(xué)生的想象力和推理能力。但是現(xiàn)在這個(gè)時(shí)代，白板教學(xué)基本上普及到每個(gè)學(xué)校，白板教學(xué)有著許多豐富的資源，老師們應(yīng)該好好地利用白板帶來(lái)的好處、資源，來(lái)提高學(xué)生學(xué)習(xí)立體幾何的興趣。白板上帶有許多的輔助教學(xué)工具，例如白板上的畫(huà)圖工具，可以用來(lái)引起學(xué)生的興趣，然后讓學(xué)生嘗試在白板上畫(huà)圖，學(xué)生在親自體驗(yàn)的過(guò)程中也能夠提起他們的學(xué)習(xí)興趣，而且白板上能夠放映視頻，老師們可采用以課件為主、視頻為輔的教學(xué)方式，讓課堂變得輕松愉快，從而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

二、電子白板在立體幾何教學(xué)中的應(yīng)用策略

立體幾何是一種抽象難懂的知識(shí)，學(xué)生們之所以覺(jué)得立體幾何難懂，是因?yàn)樗麄兊目臻g立體感不強(qiáng)，那么，如何才能讓學(xué)生更好地理解，這也是教師在教學(xué)過(guò)程中面對(duì)的一大難題。以前，老師在教學(xué)時(shí)，會(huì)帶上立體模型到課堂上給學(xué)生們展示，但是學(xué)生們看模型也只能夠看到表面，不能夠真正地理解一個(gè)立體模型的內(nèi)在組成和模型中點(diǎn)面線(xiàn)之間的關(guān)系，不清楚這個(gè)模型是如何由點(diǎn)面線(xiàn)組成的。白板技術(shù)的普及很好地解決了這個(gè)問(wèn)題，白板系統(tǒng)有圖像處理功能，老師在網(wǎng)上找到立體模型，然后進(jìn)行剖析，通過(guò)白板展示出來(lái)。白板的圖像處理功能，不僅能夠讓學(xué)生直觀(guān)地看到模型的表面，也能夠?qū)δＰ瓦M(jìn)行深層次的分析，然后將模型中內(nèi)在的點(diǎn)面線(xiàn)的關(guān)系也直觀(guān)地展示出來(lái)；電子白板也可以將模型進(jìn)行平面和立體的轉(zhuǎn)換，這樣學(xué)生就會(huì)看得更直觀(guān)。例如，教授長(zhǎng)方體時(shí)，白板可以通過(guò)圖像處理技術(shù)，將長(zhǎng)方體轉(zhuǎn)換成平面型，然后再將平面型的長(zhǎng)方體一步步地折疊成立體的長(zhǎng)方體，這樣學(xué)生在觀(guān)看這個(gè)轉(zhuǎn)換的過(guò)程中，就能夠清楚地知道長(zhǎng)方體要如何做才能展開(kāi)，平面型的長(zhǎng)方體要先做哪一步才能夠折疊成長(zhǎng)方體。在這個(gè)學(xué)習(xí)過(guò)程中，學(xué)生們不知不覺(jué)就學(xué)會(huì)了一種學(xué)習(xí)立體幾何的方法。立體幾何需要很強(qiáng)的空間感，電子白板不僅有著圖像處理功能，也有著動(dòng)態(tài)演示功能，老師在講課時(shí)就可以不用一直說(shuō)要如何做，只需要用白板的動(dòng)態(tài)演示功能，就能夠?qū)⒁粋€(gè)立體圖形如何拆分成平面圖形的過(guò)程給演示出來(lái)，在學(xué)生觀(guān)看演示的過(guò)程中，學(xué)生的大腦也在想象著怎么做，這樣不僅培養(yǎng)了學(xué)生的空間想象力，也讓學(xué)生學(xué)習(xí)到了知識(shí)。在學(xué)習(xí)立體幾何的過(guò)程中，求不規(guī)則的立體幾何的體積對(duì)于學(xué)生們來(lái)說(shuō)是個(gè)難題，但是通過(guò)白板技術(shù)教學(xué)，白板可以將一個(gè)不規(guī)則的立體圖形通過(guò)分割、拼湊成一個(gè)規(guī)則的立體圖形，然后再求其的體積。在白板進(jìn)行切割拼湊的過(guò)程中，學(xué)生的大腦也在進(jìn)行著思考，這樣學(xué)生們的空間想象力就得到了提高，而且學(xué)生也可以通過(guò)白板進(jìn)行自主操作，自主操作的過(guò)程中學(xué)生們也提高了學(xué)習(xí)的興趣。

總之，教師在教學(xué)過(guò)程中應(yīng)用白板技術(shù)時(shí)，首先要明確自己的教學(xué)目標(biāo)，在上課之前，應(yīng)該預(yù)設(shè)一下如何使用電子白板才能夠達(dá)到教學(xué)的最大效率。白板教學(xué)節(jié)省了老師在課堂上的畫(huà)圖時(shí)間，但是老師們不能夠因此就加快自己的教學(xué)進(jìn)度，這樣會(huì)讓許多學(xué)生跟不上教學(xué)進(jìn)度，很容易導(dǎo)致差生更差的結(jié)果。所以，老師在教學(xué)的時(shí)候應(yīng)該全面考慮一下是不是要進(jìn)行下一階段的教學(xué)，對(duì)于課堂上節(jié)省下來(lái)的時(shí)間，也可以讓學(xué)生們進(jìn)行復(fù)習(xí)和練習(xí)。

空間圖形的位置關(guān)系是立體幾何的重要內(nèi)容，解決立體幾何問(wèn)題的關(guān)鍵在于三定：定性分析→定位作圖→定量計(jì)算，其中定性是定位、定量的基礎(chǔ)，而宣則是定位、定性的深化，在面面關(guān)系中，二面角是其中的重要概念之一，它的度量歸結(jié)為平面上角的度量，一般來(lái)說(shuō)，對(duì)其平面角的定位是問(wèn)題解決的先決一步，可是，從以往的教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，學(xué)生往往把握不住其定位的基本思路而導(dǎo)致思維混亂，甚至錯(cuò)誤地定其位，使問(wèn)題的解決徒勞無(wú)益，本文就是針對(duì)這一點(diǎn)，來(lái)談一談平日教學(xué)中體會(huì)。

一、重溫二面角的平面角的定義

如圖（1），α、β是由ι出發(fā)的兩個(gè)平面,O是ι上任意一點(diǎn),OC

α，且OC⊥ι；CDβ，且OD⊥ι。這就是二面角的平面角的環(huán)境背景，即∠COD是二面角α—ι—β的平面角，從中不難得到下列特征：

Ⅰ、過(guò)棱上任意一點(diǎn)，其平面角是唯一的；

Ⅱ、其平面角所在平面與其兩個(gè)半平面均垂直；

一、立體幾何的特點(diǎn)

立體幾何的典型特點(diǎn)就在于其“立體”，即三維。在學(xué)習(xí)平面幾何時(shí)，學(xué)生完全可以通過(guò)平面的點(diǎn)、線(xiàn)以及相關(guān)的公理來(lái)證明和判斷它們之間的關(guān)系，但是在立體幾何學(xué)習(xí)過(guò)程中，如果仍?xún)H僅依靠這樣的判斷是不夠的，還需要增加空間想象能力。初學(xué)立體幾何時(shí)，很多學(xué)生難以適應(yīng)，其主要原因是難以從二維平面中感知到三維圖像，也就是說(shuō)，學(xué)習(xí)立體幾何除了相關(guān)的公理之外，最重要的就是空間想象能力，這是立體幾何的特點(diǎn)所決定的。

二、實(shí)現(xiàn)高中數(shù)學(xué)立體幾何的有效性

相應(yīng)的，高中數(shù)學(xué)立體幾何的教學(xué)，不是一個(gè)簡(jiǎn)單的過(guò)程，恰恰相反，由于不同的學(xué)生有不同的特點(diǎn)，加上立體幾何教學(xué)過(guò)程本身就十分繁瑣，因此，對(duì)高中數(shù)學(xué)立體幾何的有效性的實(shí)現(xiàn)，需要采取眾多策略。

1.通過(guò)畫(huà)圖來(lái)提高學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的運(yùn)用

立體幾何學(xué)習(xí)的難度，不僅僅在于通過(guò)二維空間表現(xiàn)三維空間的特點(diǎn)，還在于通過(guò)文字來(lái)表現(xiàn)三維空間，而后者則要求學(xué)生能夠根據(jù)文字的描述，進(jìn)行圖畫(huà)的創(chuàng)造。其實(shí)，教師引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)畫(huà)圖來(lái)解答題目，還在一定程度上加深了學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的理解和運(yùn)用。比如在講授面面垂直這一基本公理時(shí)，首先學(xué)生應(yīng)該明白證明面A與面B垂直，只需要證明面A中的一條直線(xiàn)m與面B垂直，而要證明直線(xiàn)m垂直于面B，只需要證明直線(xiàn)m與面B中的兩條相交的直線(xiàn)n和h垂直即可，通過(guò)這樣的分析，學(xué)生就可以畫(huà)出相應(yīng)的圖畫(huà)。雖然學(xué)生在解答立體幾何題目中，題干中往往會(huì)給出特定的圖像，但是教師在對(duì)學(xué)生的日常訓(xùn)練中，要引導(dǎo)學(xué)生自主畫(huà)圖像，這對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生的空間想象力，無(wú)疑具有十分積極的意義。

空間圖形的位置關(guān)系是立體幾何的重要內(nèi)容，解決立體幾何問(wèn)題的關(guān)鍵在于三定：定性分析→定位作圖→定量計(jì)算，其中定性是定位、定量的基礎(chǔ)，而宣則是定位、定性的深化，在面面關(guān)系中，二面角是其中的重要概念之一，它的度量歸結(jié)為平面上角的度量，一般來(lái)說(shuō)，對(duì)其平面角的定位是問(wèn)題解決的先決一步，可是，從以往的教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，學(xué)生往往把握不住其定位的基本思路而導(dǎo)致思維混亂，甚至錯(cuò)誤地定其位，使問(wèn)題的解決徒勞無(wú)益，本文就是針對(duì)這一點(diǎn)，來(lái)談一談平日教學(xué)中體會(huì)。

一、重溫二面角的平面角的定義

如圖（1），α、β是由ι出發(fā)的兩個(gè)平面,O是ι上任意一點(diǎn),OC

α，且OC⊥ι；CDβ，且OD⊥ι。這就是二面角的平面角的環(huán)境背景，即∠COD是二面角α—ι—β的平面角，從中不難得到下列特征：

Ⅰ、過(guò)棱上任意一點(diǎn)，其平面角是唯一的；

Ⅱ、其平面角所在平面與其兩個(gè)半平面均垂直；

空間圖形的位置關(guān)系是立體幾何的重要內(nèi)容，解決立體幾何問(wèn)題的關(guān)鍵在于三定：定性分析→定位作圖→定量計(jì)算，其中定性是定位、定量的基礎(chǔ)，而宣則是定位、定性的深化，在面面關(guān)系中，二面角是其中的重要概念之一，它的度量歸結(jié)為平面上角的度量，一般來(lái)說(shuō)，對(duì)其平面角的定位是問(wèn)題解決的先決一步，可是，從以往的教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，學(xué)生往往把握不住其定位的基本思路而導(dǎo)致思維混亂，甚至錯(cuò)誤地定其位，使問(wèn)題的解決徒勞無(wú)益，本文就是針對(duì)這一點(diǎn)，來(lái)談一談平日教學(xué)中體會(huì)。

一、重溫二面角的平面角的定義

如圖（1），α、β是由ι出發(fā)的兩個(gè)平面,O是ι上任意一點(diǎn),OC

α，且OC⊥ι；CDβ，且OD⊥ι。這就是二面角的平面角的環(huán)境背景，即∠COD是二面角α—ι—β的平面角，從中不難得到下列特征：

Ⅰ、過(guò)棱上任意一點(diǎn)，其平面角是唯一的；

Ⅱ、其平面角所在平面與其兩個(gè)半平面均垂直；

空間圖形的位置關(guān)系是立體幾何的重要內(nèi)容，解決立體幾何問(wèn)題的關(guān)鍵在于三定：定性分析→定位作圖→定量計(jì)算，其中定性是定位、定量的基礎(chǔ)，而宣則是定位、定性的深化，在面面關(guān)系中，二面角是其中的重要概念之一，它的度量歸結(jié)為平面上角的度量，一般來(lái)說(shuō)，對(duì)其平面角的定位是問(wèn)題解決的先決一步，可是，從以往的教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，學(xué)生往往把握不住其定位的基本思路而導(dǎo)致思維混亂，甚至錯(cuò)誤地定其位，使問(wèn)題的解決徒勞無(wú)益，本文就是針對(duì)這一點(diǎn)，來(lái)談一談平日教學(xué)中體會(huì)。

一、重溫二面角的平面角的定義

如圖（1），α、β是由ι出發(fā)的兩個(gè)平面,O是ι上任意一點(diǎn),OC

α，且OC⊥ι；CDβ，且OD⊥ι。這就是二面角的平面角的環(huán)境背景，即∠COD是二面角α—ι—β的平面角，從中不難得到下列特征：

Ⅰ、過(guò)棱上任意一點(diǎn)，其平面角是唯一的；

Ⅱ、其平面角所在平面與其兩個(gè)半平面均垂直；

1．CAI是大趨勢(shì)

隨著計(jì)算機(jī)的普及，計(jì)算機(jī)的應(yīng)用隨之滲透到社會(huì)生活的各個(gè)方面。學(xué)校的教學(xué)如果不利用這一新技術(shù)便會(huì)落后于時(shí)代。CAI在教學(xué)中的地位不會(huì)只是一種時(shí)髦，由于它的形象、方便、速度、效率等等方面的優(yōu)點(diǎn)，這一方式勢(shì)必會(huì)被大部分學(xué)生和教師所接受，而成為一種潮流。這一時(shí)刻的到來(lái)會(huì)比預(yù)想的快。實(shí)際上，當(dāng)學(xué)校的教師們把計(jì)算機(jī)作為他們生活的一部分時(shí)，他們自然會(huì)把CAI作為他們教學(xué)手段的一部分。對(duì)于數(shù)學(xué)教師來(lái)說(shuō)，這一進(jìn)程可能會(huì)來(lái)得更快，畢竟我國(guó)高校第一代計(jì)算機(jī)教師有相當(dāng)一部分出身于數(shù)學(xué)領(lǐng)域。

2．?dāng)?shù)學(xué)CAI軟件的設(shè)計(jì)原則

目前流行于市的CAI著作并不多見(jiàn)，但軟件市場(chǎng)可見(jiàn)到不少cAI軟件商品。其中絕大部分是對(duì)學(xué)生進(jìn)行課外輔導(dǎo)性質(zhì)的。實(shí)際上，CAI所涉及的面很廣，它包括教與學(xué)的各個(gè)方面。任何一個(gè)軟件幾乎都不可能覆蓋它的全部?jī)?nèi)容。本文也只打算對(duì)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)軟件的設(shè)計(jì)問(wèn)題進(jìn)行探討。任何一個(gè)軟件產(chǎn)品，制作者都要事先確定該軟件要達(dá)到的目的，然后根據(jù)此目的制定一系列具體的設(shè)計(jì)要求。如果該產(chǎn)品已經(jīng)很成熟，這些要求會(huì)成為公認(rèn)的標(biāo)準(zhǔn)。數(shù)學(xué)課堂教學(xué)CAI軟件的制作目的當(dāng)然也是數(shù)學(xué)教學(xué)的最終目的，即使學(xué)生掌握相應(yīng)的教學(xué)內(nèi)容。教學(xué)的最后效果是通過(guò)學(xué)生對(duì)知識(shí)的掌握來(lái)衡量的，但大部分時(shí)間往往采取一種更簡(jiǎn)易的評(píng)價(jià)方法----就課論課。例如大部分的公開(kāi)教學(xué)或觀(guān)摩課，最后的評(píng)價(jià)并不是去考學(xué)生而是聽(tīng)課者按照已有的或心目中的標(biāo)準(zhǔn)來(lái)衡量這節(jié)課的好壞。對(duì)教學(xué)軟件的評(píng)價(jià)暫時(shí)也只好采取這種方法。實(shí)際上設(shè)計(jì)的原則與評(píng)價(jià)的原則應(yīng)該一致。由于目前課堂教學(xué)軟件不多，且大部分是各個(gè)教學(xué)單位為自己的教學(xué)而開(kāi)發(fā)的，缺少統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)。筆者只是把自己在這方面的一些設(shè)想與心得寫(xiě)出來(lái)，與同行切磋。

2．1．“輔助”的含義就是以教師為主計(jì)算機(jī)永遠(yuǎn)也不會(huì)取代教師上課，就象計(jì)算機(jī)不能取代人的思維一樣。把軟件搞成錄像式的就完全失去了教師的作用，這是最失敗的軟件。除了特殊情況，如偏遠(yuǎn)地區(qū)無(wú)教師或一些冷門(mén)學(xué)科找不到相應(yīng)的教師只好采用純電教手段外，教學(xué)軟件應(yīng)是主講教師的助手。一個(gè)優(yōu)秀的教師是任何軟件也替代不了的。

2．2．交互功能

1．立體幾何與平面解析幾何的交匯

在教材中，立體幾何與解析幾何是互相獨(dú)立的兩章，彼此分離不相聯(lián)系，實(shí)際上，從空間維數(shù)看，平面幾何是二維的，立體幾何是三維的，因此，立體幾何是由平面幾何升維而產(chǎn)生；另一方面，從立體幾何與解析幾何的聯(lián)系看，解析幾何中的直線(xiàn)是空間二個(gè)平面的交線(xiàn)，圓錐曲線(xiàn)（橢圓、雙曲線(xiàn)、拋物線(xiàn)）是平面截圓錐面所產(chǎn)生的截線(xiàn)；從軌跡的觀(guān)點(diǎn)看，空間中的曲面（曲線(xiàn)）是空間中動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌跡，正因?yàn)槠矫鎺缀闻c立體幾何有這么許多千絲萬(wàn)縷的聯(lián)系，因此，在平面幾何與立體幾何的交匯點(diǎn)，新知識(shí)生長(zhǎng)的土壤特別肥沃，創(chuàng)新型題型的生長(zhǎng)空間也相當(dāng)寬廣，這一點(diǎn)，在04高考卷中已有充分展示，應(yīng)引起我們?cè)趶?fù)習(xí)中的足夠重視。

1.1空間軌跡

教材中，關(guān)于軌跡，多在平面幾何與平面解析幾何中加以定義，在空間中，只對(duì)球面用軌跡定義作了描述。如果我們把平面解析幾何中的定點(diǎn)、定直線(xiàn)不局限在同一個(gè)平面內(nèi)，則很自然地把軌跡從平面延伸到空間。

例1，（04高考重慶理科）若三棱錐A—BCD的側(cè)面ABC內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)P到平面BCD距離與到棱AB距離相等，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡與△ABC組成的圖形可能是（）

解：設(shè)二面角A—BC—D大小為θ，作PR⊥面BCD，R為垂足，PQ⊥BC于Q，PT⊥AB于T，則∠PQR=θ，且由條件PT=PR=PQ·sinθ，∴為小于1的常數(shù)，故軌跡圖形應(yīng)選（D）。

一、《數(shù)學(xué)教學(xué)大綱》中體現(xiàn)的數(shù)學(xué)能力

關(guān)于數(shù)學(xué)能力，我國(guó)長(zhǎng)期流行的提法是“三大能力”：數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，空間想象能力和邏輯思維能力。這一提法有很強(qiáng)的概括力。但是，它同樣忽視應(yīng)用，突出邏輯的地位，甚至認(rèn)為“數(shù)學(xué)能力的核心是邏輯思維能力”。

1951年的數(shù)學(xué)教學(xué)大綱提出了四個(gè)方面：（1）數(shù)形知識(shí)；（2）科學(xué)習(xí)慣；（3）辨證思維；（4）應(yīng)用技能。1952年的大綱里,僅提到“基礎(chǔ)知識(shí)”與“基本技能”的“雙基”要求,“能力”這個(gè)詞都沒(méi)有在大綱中出現(xiàn)。1953年10月頒布了《大綱》（草案），對(duì)能力的要求是：“發(fā)展學(xué)生生動(dòng)的空間想象力，發(fā)展學(xué)生邏輯的思維力和判斷力，鍛煉學(xué)生既定的目的方面和合理地自動(dòng)完成工作方面的堅(jiān)毅性”。這個(gè)《大綱》雖已把培養(yǎng)能力的內(nèi)容提出來(lái)了，但沒(méi)有明確地提出“能力”一詞。1955年的大綱里，在“雙基”的同時(shí)，第一次明確提出了要培養(yǎng)運(yùn)算能力、邏輯思維能力和空間想象能力。1960年首次提出了“發(fā)展學(xué)生的邏輯思維和空間想象能力”和“培養(yǎng)學(xué)生的辨證唯物主義觀(guān)點(diǎn)”。1956—1957年度公布的《中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱（修訂）草案》中又增加了“發(fā)展他們的邏輯思維和空間想象能力的要求。”1961年的大綱里，則提到五種，增加了繪圖與測(cè)量能力的要求。1963年，教育部頒布《全日制中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱（草案）》，終于將我國(guó)數(shù)學(xué)教育的重點(diǎn)和盤(pán)托出：“使學(xué)生牢固地掌握代數(shù)、平面幾何、立體幾何、三角和平面解析幾何基礎(chǔ)知識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生正確而迅速的運(yùn)算能力、邏輯思維和空間想象能力，以適應(yīng)參加生產(chǎn)勞動(dòng)和進(jìn)一步學(xué)習(xí)的需要?！?963年5月的大綱，提出了“培養(yǎng)學(xué)生正確而迅速的計(jì)算能力、邏輯推理能力和空間想象能力”。1965年，教育部頒布了建國(guó)后的第四個(gè)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱：《全日制中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱（草案）》，第一次提出了培養(yǎng)想象能力，從而逐步培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。”學(xué)生“正確而迅速的運(yùn)算能力、邏輯思維和空間想象能力”。1977年的大綱，關(guān)于能力的要求是這樣寫(xiě)的：“具有正確迅速的運(yùn)算能力，一定的邏輯思維能力和一定的空間想象能力。”1978年2月的大綱將上述的“計(jì)算能力”改為“運(yùn)算能力”，“邏輯推理能力”改為“邏輯思維能力”。第一次提出“培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力”。

20世紀(jì)80年代，我國(guó)數(shù)學(xué)教育的“三要素結(jié)構(gòu)”逐漸形成，“三要素結(jié)構(gòu)”即指處于第一層次的雙基（基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能）結(jié)構(gòu)、第一層次的能力（三大基本能力及在此基礎(chǔ)上逐步形成分析解決實(shí)際問(wèn)題的能力）結(jié)構(gòu)、第三層次的思想品質(zhì)（興趣、積極性、科學(xué)態(tài)度、辨證唯物主義觀(guān)點(diǎn)等）結(jié)構(gòu)。這在1986年的大綱中得到完整的表現(xiàn)。1986年的《大綱》提出的能力要求是“培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力、邏輯思維能力和空間想象能力，以逐步形成運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)分析和解決問(wèn)題的能力”，與1978年的《大綱》不同的是這里提出了逐步提高學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)的能力。

1990年，中國(guó)教育發(fā)生了深刻的變化，它是漸進(jìn)的，人們往往不甚覺(jué)察。但是回頭一望，已經(jīng)有了巨大的改變。國(guó)家整體上提倡“素質(zhì)教育”和“創(chuàng)新教育”，中國(guó)數(shù)學(xué)界強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)應(yīng)用的重要性，社會(huì)進(jìn)步把數(shù)學(xué)教學(xué)帶入了計(jì)算機(jī)時(shí)代。數(shù)學(xué)教育界看到了“應(yīng)用意識(shí)的失落”，提出了“淡化形式、注重實(shí)質(zhì)”的口號(hào)，注意把學(xué)習(xí)的主動(dòng)權(quán)交給學(xué)生。數(shù)學(xué)應(yīng)用題終于重新進(jìn)入高考，而且大量的數(shù)學(xué)新題型出現(xiàn)了。于是，數(shù)學(xué)能力的提法也逐漸有了變化。國(guó)家頒布的1992年數(shù)學(xué)教學(xué)大綱，繼續(xù)提出三大能力，但是加上了“用所學(xué)知識(shí)解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題”。注意到“實(shí)際問(wèn)題”，僅限于“簡(jiǎn)單的”。1996年大綱將“邏輯思維能力”改成“思維能力”，理由是數(shù)學(xué)思維不僅是邏輯思維；在三大能力之外，提出了“逐步培養(yǎng)分析和解決實(shí)際問(wèn)題的能力”，這進(jìn)一步注意到解決實(shí)際問(wèn)題的能力，可惜還是“逐步培養(yǎng)”。1997年的《高中數(shù)學(xué)教學(xué)大綱（修訂本）》中要求培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力、邏輯思維能力和空間想象能力，使其逐步形成運(yùn)用教學(xué)知識(shí)分析和解決實(shí)際問(wèn)題的問(wèn)題。

進(jìn)入21世紀(jì)之后，國(guó)內(nèi)關(guān)于數(shù)學(xué)能力的提法又有新的變化。

近兩年各省市高考數(shù)學(xué)試卷，遵循高考命題的“三個(gè)有利于”和穩(wěn)定、改革、創(chuàng)新的命題原則，在試題設(shè)計(jì)上做到“從學(xué)科的思維高度和思維價(jià)值考慮問(wèn)題，在知識(shí)網(wǎng)絡(luò)交匯點(diǎn)設(shè)計(jì)試題”，用統(tǒng)一的教學(xué)觀(guān)點(diǎn)組織材料，對(duì)知識(shí)的考查側(cè)重于理解和應(yīng)用，尤其是綜合和靈活的應(yīng)用，以此來(lái)檢測(cè)考生將知識(shí)遷移到不同情景中去的能力。不同的高考試卷，表現(xiàn)出一個(gè)共同特點(diǎn)，即通過(guò)對(duì)新穎信息、情景的設(shè)問(wèn)，在知識(shí)網(wǎng)絡(luò)交匯處設(shè)計(jì)試題，體現(xiàn)了對(duì)創(chuàng)新能力的考查，因此，要提高復(fù)習(xí)的針對(duì)性，適應(yīng)高考創(chuàng)新型試題，必須注意知識(shí)在各自發(fā)展過(guò)程中的縱向聯(lián)系以及不同知識(shí)部份之間的橫向聯(lián)系，把握結(jié)構(gòu)，理清脈絡(luò)，十分重視知識(shí)網(wǎng)絡(luò)交匯點(diǎn)和知識(shí)塊結(jié)合部的復(fù)習(xí)，以提高對(duì)高考創(chuàng)新型試題的適應(yīng)能力。以下對(duì)不同知識(shí)交匯和結(jié)合的情形作一些研究。

1．立體幾何與平面解析幾何的交匯

在教材中，立體幾何與解析幾何是互相獨(dú)立的兩章，彼此分離不相聯(lián)系，實(shí)際上，從空間維數(shù)看，平面幾何是二維的，立體幾何是三維的，因此，立體幾何是由平面幾何升維而產(chǎn)生；另一方面，從立體幾何與解析幾何的聯(lián)系看，解析幾何中的直線(xiàn)是空間二個(gè)平面的交線(xiàn)，圓錐曲線(xiàn)（橢圓、雙曲線(xiàn)、拋物線(xiàn)）是平面截圓錐面所產(chǎn)生的截線(xiàn)；從軌跡的觀(guān)點(diǎn)看，空間中的曲面（曲線(xiàn)）是空間中動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌跡，正因?yàn)槠矫鎺缀闻c立體幾何有這么許多千絲萬(wàn)縷的聯(lián)系，因此，在平面幾何與立體幾何的交匯點(diǎn)，新知識(shí)生長(zhǎng)的土壤特別肥沃，創(chuàng)新型題型的生長(zhǎng)空間也相當(dāng)寬廣，這一點(diǎn)，在04高考卷中已有充分展示，應(yīng)引起我們?cè)趶?fù)習(xí)中的足夠重視。

1.1空間軌跡

教材中，關(guān)于軌跡，多在平面幾何與平面解析幾何中加以定義，在空間中，只對(duì)球面用軌跡定義作了描述。如果我們把平面解析幾何中的定點(diǎn)、定直線(xiàn)不局限在同一個(gè)平面內(nèi)，則很自然地把軌跡從平面延伸到空間。

例1，（04高考重慶理科）若三棱錐A—BCD的側(cè)面ABC內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)P到平面BCD距離與到棱AB距離相等，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡與△ABC組成的圖形可能是（）