摘要:長期以來,概率論一直被認(rèn)為是從賭博游戲中產(chǎn)生的。論文但事實(shí)上,賭博游戲由來已久,而概率論卻直到17世紀(jì)末才誕生。這說明賭博并不是概率論產(chǎn)生的決定性因素。概率論的形成是多種因素結(jié)合的結(jié)果。文章的目的即在于對這些產(chǎn)生條件進(jìn)行分析,從而使人們能夠清楚地了解影響概率論產(chǎn)生的各種關(guān)鍵性因素。

關(guān)鍵詞:獨(dú)立隨機(jī)過程;計(jì)數(shù)系統(tǒng);歸納法;保險(xiǎn)業(yè)

概率論是一門應(yīng)用非常廣泛的學(xué)科。在數(shù)學(xué)史上,它的產(chǎn)生是以帕斯卡和費(fèi)馬在1654年的七封通信為標(biāo)志的。由于這些信件中所解決的問題多是與賭博有關(guān)的點(diǎn)數(shù)問題,因此人們總是把概率論的產(chǎn)生歸功于賭博這項(xiàng)機(jī)遇游戲。但考古學(xué)發(fā)現(xiàn)告訴我們,賭博游戲早在文明初期就已經(jīng)存在了,迄今已有幾千年的歷史,而概率論從誕生至今不過三百余年,這說明賭博并不是概率論產(chǎn)生的決定性條件。在從賭博出現(xiàn)到概率論產(chǎn)生之間的這段“空白”期,必定還有一些十分關(guān)鍵的因素正在孕育之中。那么這些因素是什么?換句話說,需要具備哪些先決條件,概率論才能得以形成?

一獨(dú)立隨機(jī)過程的出現(xiàn)

對概率論而言,兩個(gè)最主要的概念就是獨(dú)立性和隨機(jī)性[1]。概率論是從研究古典概型開始的,它所涉及的研究對象是大量的獨(dú)立隨機(jī)過程。通過對這些過程中出現(xiàn)的問題的解決,概率理論體系才逐漸地建立起來。因此要考察概率論的產(chǎn)生條件,我們首先應(yīng)當(dāng)對獨(dú)立隨機(jī)過程的產(chǎn)生有充分的了解。

事實(shí)上,這種過程的雛形早在原始社會就已經(jīng)存在了,那時(shí)的占卜師們使用動物的趾骨作為占卜工具,將一個(gè)或多個(gè)趾骨投擲出去,趾骨落地后的不同形狀指示神對人事的不同意見。由于投擲趾骨這個(gè)過程所產(chǎn)生的結(jié)果具有不可預(yù)測性,而每次投擲的結(jié)果也互不影響,這與我們今天投擲骰子的基本原理相當(dāng),因此趾骨可以被看作是骰子的雛形。但是由于趾骨形狀的規(guī)則性較差,各種結(jié)果出現(xiàn)的機(jī)率不完全相同(即不具備等可能性),所以趾骨產(chǎn)生的隨機(jī)過程還不是我們今天意義上的獨(dú)立隨機(jī)過程。加之趾骨作為一種占卜工具,其本身具有神圣的地位,普通人不可能輕易使用,這也在某種程度上阻礙了人們對隨機(jī)過程的認(rèn)識。

1實(shí)驗(yàn)教學(xué)特征及意義

按照應(yīng)用性為主的教學(xué)目的要求，在概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教學(xué)過程中，應(yīng)該以培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法解決實(shí)際問題的能力為出發(fā)點(diǎn)，使學(xué)生掌握概率論的基本知識和理解統(tǒng)計(jì)方法的基本思想，并將理論的學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)化成一定的統(tǒng)計(jì)應(yīng)用能力。隨著目前統(tǒng)計(jì)工作所面臨的數(shù)據(jù)日益龐大，傳統(tǒng)教學(xué)中的計(jì)算公式已經(jīng)很難使用手工計(jì)算的方式進(jìn)行求解，因此借助于計(jì)算機(jī)及統(tǒng)計(jì)軟件完成統(tǒng)計(jì)計(jì)算，分析統(tǒng)計(jì)結(jié)果、做出統(tǒng)計(jì)推斷便成為統(tǒng)計(jì)教學(xué)中不可忽視的一個(gè)手段。使用軟件輔助概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的教學(xué)能使課程中的數(shù)據(jù)處理和數(shù)值計(jì)算更簡易、更精確。伴隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)及數(shù)學(xué)軟件的發(fā)展，使得諸多的統(tǒng)計(jì)分析借助數(shù)學(xué)軟件得以實(shí)現(xiàn)，如參數(shù)估計(jì)、假設(shè)檢驗(yàn)、方差分析和回歸分析等計(jì)算問題，也無需擔(dān)心大量的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)帶來的計(jì)算量等問題。同時(shí)，在高等教育統(tǒng)計(jì)教學(xué)中應(yīng)用統(tǒng)計(jì)軟件，有利于培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)統(tǒng)計(jì)、計(jì)算機(jī)及軟件等專業(yè)課的興趣，提高學(xué)生的計(jì)算能力和利用專業(yè)知識解決實(shí)際問題的能力，科學(xué)整合統(tǒng)計(jì)教學(xué)內(nèi)容，促進(jìn)統(tǒng)計(jì)教學(xué)面向社會需要，提升學(xué)生的實(shí)踐能力。在教學(xué)中進(jìn)行軟件的訓(xùn)練也能為學(xué)生將來的工作打下初步的基礎(chǔ)，為了更好進(jìn)行概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的教學(xué)和實(shí)踐，近年來新編教材也增加了數(shù)學(xué)軟件的內(nèi)容，在概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程教學(xué)中使用數(shù)學(xué)軟件已成為改革發(fā)展的趨勢。在課堂教學(xué)中，為了讓學(xué)生加深對理論的理解，實(shí)踐環(huán)節(jié)的設(shè)置變得非常關(guān)鍵，概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程中加入數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)?zāi)芎芎玫奶钛a(bǔ)學(xué)生在理論和實(shí)踐之間的空白。數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的開展可以在數(shù)學(xué)教育中體現(xiàn)學(xué)生的主體意識，讓學(xué)生做到邊學(xué)邊用，提高學(xué)生學(xué)習(xí)的趣味性、體現(xiàn)數(shù)學(xué)教育的時(shí)代性。因此，將數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)融入概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教學(xué)，是概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教學(xué)改革中非常值得探討和研究的課題。根據(jù)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程的特點(diǎn)，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的內(nèi)容設(shè)計(jì)可以和案例教學(xué)方法進(jìn)行有機(jī)結(jié)合。案例式教學(xué)能解決概率知識綜合運(yùn)用的問題，能豐富課程內(nèi)容、加深學(xué)生對知識的理解。教學(xué)案例能將所學(xué)知識有機(jī)聯(lián)系起來，使課程的各部分不再是孤立的，通過對案例設(shè)置問題的求解，便能使學(xué)生完成由學(xué)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)理論到用概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)解決問題的轉(zhuǎn)變。在解決實(shí)際問題的過程中輔以軟件進(jìn)行數(shù)值計(jì)算試驗(yàn)，能最大限度發(fā)揮軟件的優(yōu)勢，使學(xué)生學(xué)以致用，將理論學(xué)習(xí)與實(shí)際應(yīng)用有機(jī)結(jié)合起來。在傳統(tǒng)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教學(xué)過程中，概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程計(jì)算量大一直是困擾課堂教學(xué)的難點(diǎn)問題，如二項(xiàng)分布，若試驗(yàn)次數(shù)較多，其中的具體概率計(jì)算將變得十分復(fù)雜。復(fù)雜的計(jì)算往往使得教師的教學(xué)重點(diǎn)發(fā)生偏移，側(cè)重課后習(xí)題計(jì)算的處理，使得課程的設(shè)計(jì)重點(diǎn)偏向排列組合公式的計(jì)算。另外在教學(xué)過程中，前后知識的聯(lián)系對初學(xué)者也是一個(gè)障礙，比如條件概率等基本公式在討論多元隨機(jī)變量時(shí)還會用到，但在教學(xué)實(shí)踐中我們會發(fā)現(xiàn)，由于缺少互相聯(lián)系的教學(xué)實(shí)例，學(xué)生一般都是將這兩部分分開來學(xué)習(xí)，不習(xí)慣將前面的知識和隨機(jī)變量進(jìn)行有機(jī)結(jié)合。因此設(shè)計(jì)恰當(dāng)?shù)陌咐?，將知識前后貫通是教師面臨的重要任務(wù)。

2軟件介紹

在強(qiáng)調(diào)學(xué)生為主體的實(shí)踐式教學(xué)設(shè)計(jì)中，教師設(shè)計(jì)案例的求解一般要選擇合適的軟件進(jìn)行輔助，當(dāng)前數(shù)學(xué)軟件眾多、功能強(qiáng)大，如綜合性軟件Mat－lab，統(tǒng)計(jì)專業(yè)軟件SPSS、SAS等。對于專業(yè)數(shù)學(xué)軟件一般要先進(jìn)行軟件的學(xué)習(xí)才能用來解決實(shí)際問題，對于概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)這樣一門獨(dú)立的課程，顯然不宜專門來進(jìn)行軟件的培訓(xùn)，為了應(yīng)對實(shí)踐教學(xué)課堂應(yīng)用，簡單易學(xué)且容易配置的軟件能最大限度實(shí)現(xiàn)教學(xué)任務(wù)。在此以Excel為例介紹案例式教學(xué)和利用Excel進(jìn)行軟件試驗(yàn)的一點(diǎn)嘗試。Excel使用簡便，基本不涉及程序的編制，在圖形化界面下進(jìn)行操作，且具備有強(qiáng)大的圖形功能，便于概率結(jié)果的呈現(xiàn)和分析。Excel有豐富的概率函數(shù)，能幫助用戶進(jìn)行各種類型的概率計(jì)算，或進(jìn)行隨機(jī)模擬來學(xué)習(xí)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)。Excel可以計(jì)算大部分常用理論分布的概率密度函數(shù)PDF、累積分布函數(shù)CDF以及模擬產(chǎn)生服從常用概率分布的隨機(jī)數(shù)據(jù)。如果能夠正確使用，Excel可以成為非常強(qiáng)大的學(xué)習(xí)工具。選用Excel作為概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教學(xué)輔助軟件的另一個(gè)原因是作為微軟Office工具之一，大部分學(xué)生均了解Excel的使用，因此不用進(jìn)行軟件的教學(xué)即可用來解決實(shí)際問題，在學(xué)習(xí)過程中也能進(jìn)一步促進(jìn)學(xué)生對軟件的使用增強(qiáng)他們解決實(shí)際問題的能力。下面介紹一個(gè)利用Excel輔助的案例式實(shí)驗(yàn)教學(xué)設(shè)計(jì)實(shí)例。為了使數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)背景貼近學(xué)生的學(xué)習(xí)生活，以考試中選擇題成績分析為例。背景分析：考試是每個(gè)學(xué)生都經(jīng)歷的學(xué)習(xí)過程，其中選擇題是經(jīng)常遇到的類型，選擇題的設(shè)計(jì)與概率知識之間有密切的關(guān)系。通過與學(xué)生密切相關(guān)的問題引入概率教學(xué)，能極大激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。問題設(shè)計(jì)：選擇題在解答時(shí)不同于填空題或者解答題，因?yàn)樵谕耆粫那闆r下仍有可能靠猜測得到正確的答案，那如何來評估選擇題在考試中的效度，可以使用什么樣的概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本知識予以研究？

3實(shí)驗(yàn)教學(xué)案例設(shè)計(jì)

首先提出基本假設(shè)，考試時(shí)一個(gè)選擇題有4個(gè)選項(xiàng)，僅有一個(gè)選項(xiàng)是正確的，如果不會做就隨機(jī)作答，因此在不會做題的情況下隨機(jī)選擇答案有25％的可能性得到正確答案，即從卷面上看該題做對了，對于老師來說，按照成績評價(jià)學(xué)生實(shí)際知識水平非常重要，因此需要評估在答案正確的前提下求學(xué)生實(shí)際會做該題的概率。圖像顯示出選擇題答案正確而顯示被試者會做該題的概率一直大于被試者實(shí)際會做該題的概率，說明選擇題容易高估被試者的水平，為了有效區(qū)分被試者的不同程度，需要適當(dāng)調(diào)節(jié)題目的難度來區(qū)分被試者是不是真的會做。作為一個(gè)例子，若學(xué)生會做與不會做的概率相同，取x＝0．5，則容易計(jì)算出P（A｜B）＝0．8，即實(shí)際會做概率為0．5時(shí)，選擇題表現(xiàn)出來的得分可能為0．8分。對于數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)來說，讓學(xué)生自己對該案例進(jìn)一步討論，親自實(shí)踐在軟件輔助下的概率解題，對促進(jìn)學(xué)生將理論用于實(shí)際非常重要。在課堂講授的基礎(chǔ)上，可以將學(xué)生自學(xué)內(nèi)容引申到用隨機(jī)變量的分布律和分布函數(shù)來研究在實(shí)際考試中選擇題得分情況演示，結(jié)合二項(xiàng)分布理論研究選擇題對學(xué)習(xí)評價(jià)的情況。評價(jià)借助于Excel軟件設(shè)計(jì)如下實(shí)驗(yàn)。假設(shè)某項(xiàng)考試由100道選擇題組成，每道題1分，學(xué)生會做該題的概率為x（實(shí)際問題中相當(dāng)于難度系數(shù)為1－x），當(dāng)x＝0的時(shí)候，被試者對考試內(nèi)容完全不會，每題都隨機(jī)選擇，可以看成服從參數(shù)為（100，0．25）的二項(xiàng)分布，使用Excel中的BINOM－DIST（）函數(shù)進(jìn)行二項(xiàng)分布概率密度值和分布函數(shù)值的計(jì)算來演示考試結(jié)果。函數(shù)用法為：BINOM－DIST（k，n，p，F(xiàn)ALSE／TRUE），其中k表示回答正確的題目數(shù)量，可以使用單元格自動生成，n，p為二項(xiàng)分布的參數(shù)。n表示總試驗(yàn)次數(shù)，p表示每次試驗(yàn)中事件出現(xiàn)的次數(shù)即答對題的概率。后面的參數(shù)FALSE／TRUE用來說明是計(jì)算概率密度函數(shù)和是計(jì)算分布函數(shù)。如BINOMDIST（A2，100，0．25，F(xiàn)ALSE）表示對A2單元格中的自變量計(jì)算參數(shù)為（100，0．25）的二項(xiàng)分布概率密度函數(shù)值。使用Ex－cel的自動填充功能，便可方便生成該二項(xiàng)分布的概率密度表。為方便調(diào)節(jié)二項(xiàng)分布參數(shù)，可以將參數(shù)（n，p）用單元格的絕對引用代替，改變參數(shù)單元格的數(shù)值就能得到不同二項(xiàng)分布的概率密度表格。Excel還可以對概率密度表和分布函數(shù)表生成條形圖和線圖，若試題難度系數(shù)0．5，學(xué)生事實(shí)會做的題目應(yīng)該有50道，因此會做的題目有50道，另外不會做的隨機(jī)選擇，正確率0．25，因此回答正確的題數(shù)為12．5，兩者相加可知最終得62．5分的概率最大。

摘要：將數(shù)學(xué)史引入課堂、在教學(xué)中廣泛應(yīng)用案例、積極開展隨機(jī)試驗(yàn)以及引導(dǎo)學(xué)生主動探索等，有助于改進(jìn)概率論教學(xué)方法，解決教學(xué)實(shí)踐問題，提高教學(xué)質(zhì)量．教學(xué)手段的多樣化以及豐富的教學(xué)內(nèi)容可以加深學(xué)生對客觀隨機(jī)現(xiàn)象的理解與認(rèn)識，并激發(fā)學(xué)生自主學(xué)習(xí)和主動探索的精神．

關(guān)鍵詞：概率論；教學(xué)；思維方法

在數(shù)學(xué)的歷史發(fā)展過程中出現(xiàn)了3次重大的飛躍．第一次飛躍是從算數(shù)過渡到代數(shù)，第二次飛躍是常量數(shù)學(xué)到變量數(shù)學(xué)，第三次飛躍就是從確定數(shù)學(xué)到隨機(jī)數(shù)學(xué)．現(xiàn)實(shí)世界的隨機(jī)本質(zhì)使得各個(gè)領(lǐng)域從確定性理論轉(zhuǎn)向隨機(jī)理論成為自然；而且隨機(jī)數(shù)學(xué)的工具、結(jié)論與方法為解決確定性數(shù)學(xué)中的問題開辟了新的途徑．因此可以說，隨機(jī)數(shù)學(xué)必將成為未來主流數(shù)學(xué)中的亮點(diǎn)之一．概率論作為隨機(jī)數(shù)學(xué)中最基礎(chǔ)的部分，已經(jīng)成為高校中很多專業(yè)的學(xué)生所必修的一門基礎(chǔ)課．但是教學(xué)過程中存在的一個(gè)主要問題是：學(xué)生們往往已經(jīng)習(xí)慣了確定數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)思維方式，認(rèn)為概率中的基本概念抽象難以理解，思維受限難以展開．這些都使得學(xué)生對這門課望而卻步，因此如何在概率論的教學(xué)過程中培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)隨機(jī)數(shù)學(xué)的思維方法就顯得十分重要．本文擬介紹我們在該課程教學(xué)中的改革嘗試，當(dāng)作引玉之磚．

1將數(shù)學(xué)史融入教學(xué)課堂在概率論教學(xué)過程當(dāng)中，介紹相關(guān)的數(shù)學(xué)史可以幫助學(xué)生更好地認(rèn)識到概率論不僅是“陽春白雪”，而且還是一門應(yīng)用背景很強(qiáng)的學(xué)科．比如說概率論中最重要的分布——正態(tài)分布，就是在18世紀(jì)，為解決天文觀測誤差而提出的．在17、18世紀(jì)，由于不完善的儀器以及觀測人員缺乏經(jīng)驗(yàn)等原因，天文觀測誤差是一個(gè)重要的問題，有許多科學(xué)家都進(jìn)行過研究．1809年，正態(tài)分布概念是由德國的數(shù)學(xué)家和天文學(xué)家德莫弗（DeMoivre）于1733年首次提出的，德國數(shù)學(xué)家高斯（Gauss）率先將正態(tài)分布應(yīng)用于天文學(xué)研究，指出正態(tài)分布可以很好地“擬合”誤差分布，故正態(tài)分布又叫高斯分布．如今，正態(tài)分布是最重要的一種概率分布，也是應(yīng)用最廣泛的一種連續(xù)型分布．在1844年法國征兵時(shí)，有許多符合應(yīng)征年齡的人稱自己的身高低于征兵的最低身高要求，因而可以免服兵役，這里面一定有人為了躲避兵役而說謊．果然，比利時(shí)數(shù)學(xué)家凱特勒（A.Quetlet，1796—1874）就是利用身高服從正態(tài)分布的法則，把應(yīng)征人的身高的分布與一般男子的身高分布相比較，找出了法國2000個(gè)為躲避征兵而假稱低于最低身高要求的人[1]．在大學(xué)階段，我們不僅希望通過數(shù)學(xué)史在教學(xué)課堂中的呈現(xiàn)來引起學(xué)生學(xué)習(xí)概率論這門課程的興趣，更應(yīng)側(cè)重讓學(xué)生通過興趣去深入挖掘數(shù)學(xué)史，感受隨機(jī)數(shù)學(xué)的思想方法[2]．我們知道概率論中的古典概型要求樣本空間有限，而幾何概型恰好可以消除這一條件，這兩種概型學(xué)生理解起來都很容易．但是繼而出現(xiàn)的概率公理化定義，學(xué)生們總認(rèn)為抽象、不易接受．尤其是概率公理化定義里出現(xiàn)的σ代數(shù)[3]

這一概念：設(shè)Ω為樣本空間，若Ω的一些子集所組成的集合?滿足下列條件：（1）Ω∈?；（2）若A∈?，則A∈?；（3）若∈nA?，n=1,2,??，則∈∞=nnA∪1?，則我們稱?為Ω的一個(gè)σ代數(shù)．為了使學(xué)生更好的理解這一概念，我們可以引入幾何概型的一點(diǎn)歷史來介紹為什么要建立概率的公理化定義，為什么需要σ代數(shù)．幾何概型是19世紀(jì)末新發(fā)展起來的一種概率的計(jì)算方法，是在古典概型基礎(chǔ)上進(jìn)一步的發(fā)展，是等可能事件的概念從有限向無限的延伸．1899年，法國學(xué)者貝特朗提出了所謂“貝特朗悖論”[3]，矛頭直指幾何概率概念本身．這個(gè)悖論是：給定一個(gè)半徑為1的圓，隨機(jī)取它的一條弦，問：

弦長不小于3的概率為多大？對于這個(gè)問題，如果我們假定端點(diǎn)在圓周上均勻分布，所求概率等于1/3；若假定弦的中點(diǎn)在直徑上均勻分布，所求概率為1/2；又若假定弦的中點(diǎn)在圓內(nèi)均勻分布，則所求概率又等于1/4．同一個(gè)問題竟然會有3種不同的答案，原因在于取弦時(shí)采用了不同的等可能性假定！這3種答案針對的是3種不同的隨機(jī)試驗(yàn)，對于各自的隨機(jī)試驗(yàn)而言，它們都是正確的．因此在使用“隨機(jī)”、“等可能”、“均勻分布”等術(shù)語時(shí)，應(yīng)明確指明其含義，而這又因試驗(yàn)而異．也就是說我們在假定端點(diǎn)在圓周上均勻分布時(shí)，就不能考慮弦的中點(diǎn)在直徑上均勻分布或弦的中點(diǎn)在圓內(nèi)均勻分布所對應(yīng)的事件．換句話講，我們在假定端點(diǎn)在圓周上均勻分布時(shí)，只把端點(diǎn)在圓周上均勻分布所對應(yīng)的元素看成為事件．現(xiàn)在再來理解σ-代數(shù)的概念：對同一個(gè)樣本空間Ω，?1={?,Ω}為它的一個(gè)σ代數(shù)；設(shè)A為Ω的一子集，則?2={?,A,A,Ω}也為Ω的一個(gè)σ代數(shù)；設(shè)B為Ω中不同于A的另一子集，則?3={?,A,B,A,B,AB,AB,BA,AB,Ω}也為Ω的一個(gè)σ代數(shù)；Ω的所有子集所組成的集合同樣能構(gòu)成Ω的一個(gè)σ代數(shù)．當(dāng)我們考慮?2時(shí)，就只把元素?2的元素?，A，A，Ω當(dāng)作事件，而B或AB就不在考慮范圍之內(nèi)．由此σ代數(shù)的定義就較易理解了．2廣泛運(yùn)用案例教學(xué)法案例與一般例題不同，它有產(chǎn)生問題的實(shí)際背景，并能夠?yàn)閷W(xué)生所理解．案例教學(xué)法是將案例作為一種教學(xué)工具，把學(xué)生引導(dǎo)到實(shí)際問題中去，通過分析和討論，提出解決問題的基本方法和途徑的一種教學(xué)方法．我們可以從直觀性、趣味性和易于理解的角度把概率論基礎(chǔ)知識加以介紹．我們在講條件概率一節(jié)時(shí)可以先介紹一個(gè)有趣的案例——“瑪麗蓮問題”：十多年前，美國的“瑪利亞幸運(yùn)搶答”

摘要：將數(shù)學(xué)史引入課堂、在教學(xué)中廣泛應(yīng)用案例、積極開展隨機(jī)試驗(yàn)以及引導(dǎo)學(xué)生主動探索等，有助于改進(jìn)概率論教學(xué)方法，解決教學(xué)實(shí)踐問題，提高教學(xué)質(zhì)量．教學(xué)手段的多樣化以及豐富的教學(xué)內(nèi)容可以加深學(xué)生對客觀隨機(jī)現(xiàn)象的理解與認(rèn)識，并激發(fā)學(xué)生自主學(xué)習(xí)和主動探索的精神．

關(guān)鍵詞：概率論；教學(xué)；思維方法

在數(shù)學(xué)的歷史發(fā)展過程中出現(xiàn)了3次重大的飛躍．第一次飛躍是從算數(shù)過渡到代數(shù)，第二次飛躍是常量數(shù)學(xué)到變量數(shù)學(xué)，第三次飛躍就是從確定數(shù)學(xué)到隨機(jī)數(shù)學(xué)．現(xiàn)實(shí)世界的隨機(jī)本質(zhì)使得各個(gè)領(lǐng)域從確定性理論轉(zhuǎn)向隨機(jī)理論成為自然；而且隨機(jī)數(shù)學(xué)的工具、結(jié)論與方法為解決確定性數(shù)學(xué)中的問題開辟了新的途徑．因此可以說，隨機(jī)數(shù)學(xué)必將成為未來主流數(shù)學(xué)中的亮點(diǎn)之一．概率論作為隨機(jī)數(shù)學(xué)中最基礎(chǔ)的部分，已經(jīng)成為高校中很多專業(yè)的學(xué)生所必修的一門基礎(chǔ)課．但是教學(xué)過程中存在的一個(gè)主要問題是：學(xué)生們往往已經(jīng)習(xí)慣了確定數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)思維方式，認(rèn)為概率中的基本概念抽象難以理解，思維受限難以展開．這些都使得學(xué)生對這門課望而卻步，因此如何在概率論的教學(xué)過程中培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)隨機(jī)數(shù)學(xué)的思維方法就顯得十分重要．本文擬介紹我們在該課程教學(xué)中的改革嘗試，當(dāng)作引玉之磚．1將數(shù)學(xué)史融入教學(xué)課堂在概率論教學(xué)過程當(dāng)中，介紹相關(guān)的數(shù)學(xué)史可以幫助學(xué)生更好地認(rèn)識到概率論不僅是“陽春白雪”，而且還是一門應(yīng)用背景很強(qiáng)的學(xué)科．比如說概率論中最重要的分布——正態(tài)分布，就是在18世紀(jì)，為解決天文觀測誤差而提出的．在17、18世紀(jì)，由于不完善的儀器以及觀測人員缺乏經(jīng)驗(yàn)等原因，天文觀測誤差是一個(gè)重要的問題，有許多科學(xué)家都進(jìn)行過研究．1809年，正態(tài)分布概念是由德國的數(shù)學(xué)家和天文學(xué)家德莫弗（DeMoivre）于1733年首次提出的，德國數(shù)學(xué)家高斯（Gauss）率先將正態(tài)分布應(yīng)用于天文學(xué)研究，指出正態(tài)分布可以很好地“擬合”誤差分布，故正態(tài)分布又叫高斯分布．如今，正態(tài)分布是最重要的一種概率分布，也是應(yīng)用最廣泛的一種連續(xù)型分布．在1844年法國征兵時(shí)，有許多符合應(yīng)征年齡的人稱自己的身高低于征兵的最低身高要求，因而可以免服兵役，這里面一定有人為了躲避兵役而說謊．果然，比利時(shí)數(shù)學(xué)家凱特勒（A.Quetlet，1796—1874）就是利用身高服從正態(tài)分布的法則，把應(yīng)征人的身高的分布與一般男子的身高分布相比較，找出了法國2000個(gè)為躲避征兵而假稱低于最低身高要求的人[1]．在大學(xué)階段，我們不僅希望通過數(shù)學(xué)史在教學(xué)課堂中的呈現(xiàn)來引起學(xué)生學(xué)習(xí)概率論這門課程的興趣，更應(yīng)側(cè)重讓學(xué)生通過興趣去深入挖掘數(shù)學(xué)史，感受隨機(jī)數(shù)學(xué)的思想方法[2]．我們知道概率論中的古典概型要求樣本空間有限，而幾何概型恰好可以消除這一條件，這兩種概型學(xué)生理解起來都很容易．但是繼而出現(xiàn)的概率公理化定義，學(xué)生們總認(rèn)為抽象、不易接受．尤其是概率公理化定義里出現(xiàn)的σ代數(shù)[3]

這一概念：設(shè)Ω為樣本空間，若Ω的一些子集所組成的集合?滿足下列條件：（1）Ω∈?；（2）若A∈?，則A∈?；（3）若∈nA?，n=1,2,??，則∈∞=nnA∪1?，則我們稱?為Ω的一個(gè)σ代數(shù)．為了使學(xué)生更好的理解這一概念，我們可以引入幾何概型的一點(diǎn)歷史來介紹為什么要建立概率的公理化定義，為什么需要σ代數(shù)．幾何概型是19世紀(jì)末新發(fā)展起來的一種概率的計(jì)算方法，是在古典概型基礎(chǔ)上進(jìn)一步的發(fā)展，是等可能事件的概念從有限向無限的延伸．1899年，法國學(xué)者貝特朗提出了所謂“貝特朗悖論”[3]，矛頭直指幾何概率概念本身．這個(gè)悖論是：給定一個(gè)半徑為1的圓，隨機(jī)取它的一條弦，問：

弦長不小于3的概率為多大？對于這個(gè)問題，如果我們假定端點(diǎn)在圓周上均勻分布，所求概率等于1/3；若假定弦的中點(diǎn)在直徑上均勻分布，所求概率為1/2；又若假定弦的中點(diǎn)在圓內(nèi)均勻分布，則所求概率又等于1/4．同一個(gè)問題竟然會有3種不同的答案，原因在于取弦時(shí)采用了不同的等可能性假定！這3種答案針對的是3種不同的隨機(jī)試驗(yàn)，對于各自的隨機(jī)試驗(yàn)而言，它們都是正確的．因此在使用“隨機(jī)”、“等可能”、“均勻分布”等術(shù)語時(shí)，應(yīng)明確指明其含義，而這又因試驗(yàn)而異．也就是說我們在假定端點(diǎn)在圓周上均勻分布時(shí)，就不能考慮弦的中點(diǎn)在直徑上均勻分布或弦的中點(diǎn)在圓內(nèi)均勻分布所對應(yīng)的事件．換句話講，我們在假定端點(diǎn)在圓周上均勻分布時(shí)，只把端點(diǎn)在圓周上均勻分布所對應(yīng)的元素看成為事件．現(xiàn)在再來理解σ-代數(shù)的概念：對同一個(gè)樣本空間Ω，?1={?,Ω}為它的一個(gè)σ代數(shù)；設(shè)A為Ω的一子集，則?2={?,A,A,Ω}也為Ω的一個(gè)σ代數(shù)；設(shè)B為Ω中不同于A的另一子集，則?3={?,A,B,A,B,AB,AB,BA,AB,Ω}也為Ω的一個(gè)σ代數(shù)；Ω的所有子集所組成的集合同樣能構(gòu)成Ω的一個(gè)σ代數(shù)．當(dāng)我們考慮?2時(shí)，就只把元素?2的元素?，A，A，Ω當(dāng)作事件，而B或AB就不在考慮范圍之內(nèi)．由此σ代數(shù)的定義就較易理解了．2廣泛運(yùn)用案例教學(xué)法案例與一般例題不同，它有產(chǎn)生問題的實(shí)際背景，并能夠?yàn)閷W(xué)生所理解．案例教學(xué)法是將案例作為一種教學(xué)工具，把學(xué)生引導(dǎo)到實(shí)際問題中去，通過分析和討論，提出解決問題的基本方法和途徑的一種教學(xué)方法．我們可以從直觀性、趣味性和易于理解的角度把概率論基礎(chǔ)知識加以介紹．我們在講條件概率一節(jié)時(shí)可以先介紹一個(gè)有趣的案例——“瑪麗蓮問題”：十多年前，美國的“瑪利亞幸運(yùn)搶答”

電臺公布了這樣一道題：在三扇門的背后（比如說1號、2號及3號）藏了兩只羊與一輛小汽車，如果你猜對了藏汽車的門，則汽車就是你的．現(xiàn)在先讓你選擇，比方說你選擇了1號門，然后主持人打開了剩余兩扇門中的一個(gè)，讓你看清楚這扇門背后是只羊，接著問你是否應(yīng)該重新選擇，以增大猜對汽車的概率？

摘要：計(jì)算機(jī)類專業(yè)中，《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》課程是重要的專業(yè)基礎(chǔ)課程。通過分析目前課程的教學(xué)現(xiàn)狀，從課程內(nèi)容選擇、案例教學(xué)的引入、實(shí)驗(yàn)教學(xué)的設(shè)計(jì)以及考核方式的改變等四個(gè)方面開展課程改革，是提高教學(xué)效果的良好途徑。

關(guān)鍵詞：概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)；實(shí)驗(yàn)教學(xué)；案例教學(xué)

《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》課程是包括計(jì)算機(jī)類專業(yè)在內(nèi)的工科專業(yè)的必修課程。它的前導(dǎo)課程為《高等數(shù)學(xué)》及《線性代數(shù)》，后續(xù)為專業(yè)課程提供數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。通過該課程的學(xué)習(xí)，要求學(xué)生既能掌握相關(guān)的理論基礎(chǔ)，也能將其應(yīng)用到比較復(fù)雜的實(shí)際問題中，提高學(xué)生的實(shí)踐應(yīng)用能力。在實(shí)際教學(xué)過程中，課程內(nèi)容模塊多，數(shù)學(xué)公式抽象、復(fù)雜難以記憶，而相對應(yīng)的高等學(xué)校在設(shè)置課程時(shí)，課時(shí)比較少，且理論知識對學(xué)生來說難度比較大，使得課程學(xué)習(xí)后，學(xué)生普遍反映學(xué)習(xí)比較吃力，獲取的知識結(jié)構(gòu)不系統(tǒng)，對相關(guān)的實(shí)際問題的應(yīng)用也不熟練。因此，在教學(xué)過程中如何兼顧理論知識的學(xué)習(xí)和實(shí)際問題應(yīng)用能力的培養(yǎng)，是在課程教學(xué)改革過程中需要考慮的重要點(diǎn)。

一、《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》課程教學(xué)現(xiàn)狀

在計(jì)算機(jī)類專業(yè)人才培養(yǎng)體系中，《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》作為專業(yè)基礎(chǔ)課程非常重要。作為一門重要的銜接課程，要求學(xué)生具備高等數(shù)學(xué)中的數(shù)學(xué)分析及線性代數(shù)中的高等代數(shù)的知識為基礎(chǔ)來進(jìn)行學(xué)習(xí)，具有較強(qiáng)的理論性；同時(shí)，該課程中的知識內(nèi)容具有很強(qiáng)的應(yīng)用性，在數(shù)學(xué)建模、工程應(yīng)用、軍事技術(shù)等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用，也為后續(xù)的計(jì)算機(jī)類專業(yè)課程，如《程序設(shè)計(jì)》、《軟件工程》以及《項(xiàng)目管理》等提供數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。經(jīng)過幾年的教學(xué)過程總結(jié)，發(fā)現(xiàn)在課程教學(xué)中，主要存在以下幾個(gè)方面的問題：（一）學(xué)生高等數(shù)學(xué)、線性代數(shù)的基礎(chǔ)不牢固?！陡叩葦?shù)學(xué)》及《線性代數(shù)》是本課程的前導(dǎo)課程，學(xué)生應(yīng)該具備數(shù)學(xué)分析和高等代數(shù)的知識，作為本課程的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)。但這兩門課程理論知識多，計(jì)算和證明過程多，學(xué)生普遍存在掌握知識不牢固、應(yīng)付考試的情況，導(dǎo)致在本課程中的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)不扎實(shí)，教師需要耗費(fèi)教學(xué)時(shí)間去鞏固學(xué)生基礎(chǔ)。（二）采用大班上課的方式，課程內(nèi)容緊湊，學(xué)生容易失去興趣。在人才培養(yǎng)方案實(shí)施過程中，《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》作為專業(yè)基礎(chǔ)課程，采用了大班教學(xué)方式，一個(gè)教學(xué)班的規(guī)模會達(dá)到100到120人；而課程課時(shí)設(shè)定為64學(xué)時(shí)，課程內(nèi)容比較多，講授過程中內(nèi)容安排很緊湊，從而導(dǎo)致無法兼顧到所有學(xué)生并及時(shí)跟蹤學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，使得一部分學(xué)生在學(xué)習(xí)中逐漸失去興趣，導(dǎo)致學(xué)習(xí)效率降低，整體教學(xué)效果不理想。（三）教學(xué)中缺少實(shí)踐及應(yīng)用環(huán)節(jié)，學(xué)生創(chuàng)新能力低。在教學(xué)過程中，主要是在規(guī)定學(xué)時(shí)內(nèi)將課程內(nèi)容完成，使學(xué)生掌握相關(guān)的知識和方法。且由于教學(xué)實(shí)訓(xùn)場地的限制，缺少課程的實(shí)踐環(huán)節(jié)，學(xué)生無法直觀地體會到將所學(xué)概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)知識應(yīng)用到實(shí)際問題中，導(dǎo)致學(xué)生雖然掌握了課程內(nèi)容，卻沒有掌握應(yīng)用的方法和手段，教學(xué)效果受到影響。

二、教學(xué)改革方法及具體措施

摘要:概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)是多數(shù)大學(xué)生本科階段必修的公共數(shù)學(xué)課之一。傳統(tǒng)的課堂只注重教師的教學(xué)，而忽視了學(xué)生的課堂參與度和有效反饋的問題。為了解決此問題并有效提高課堂教學(xué)效率，將BOPPPS模式引入《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》課程的教學(xué)過程，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，吸引學(xué)生自主地參與課堂活動，并運(yùn)用所學(xué)到的知識解決實(shí)際問題。以“概率的古典定義”為例，闡述BOPPPS模式的具體實(shí)施過程，表明該教學(xué)方法可以有效解決傳統(tǒng)教學(xué)模式中存在的問題，具有良好的現(xiàn)實(shí)意義。

關(guān)鍵詞:概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì);BOPPPS模式;教學(xué);參與式

2019年10月，教育部頒布《關(guān)于深化本科教育教學(xué)改革全面提高人才培養(yǎng)質(zhì)量的意見》中提到“積極發(fā)展‘互聯(lián)網(wǎng)+教育’、探索智能教育新形態(tài)，推進(jìn)課堂教學(xué)革命”。［1］為了落實(shí)教育信息化，加快課堂教學(xué)改革，目前眾多高等院校紛紛進(jìn)行教學(xué)改革探索。因此，針對我?；A(chǔ)數(shù)學(xué)課程之一的《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》，依據(jù)該課程的教學(xué)現(xiàn)實(shí)情況，借鑒國內(nèi)外的先進(jìn)教學(xué)理念，將BOPPPS教學(xué)模式融入《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》的教學(xué)改革中，從而激起學(xué)生學(xué)習(xí)該課程的興趣和熱情，培育學(xué)生的綜合概括能力、創(chuàng)新能力和應(yīng)用概率與數(shù)學(xué)統(tǒng)計(jì)方法處理實(shí)際問題的能力［2］。

一、BOPPPS有效教學(xué)模式

BOPPPS教學(xué)模式是加拿大諸多高校中率先普遍使用的新型教學(xué)模式。與以往教學(xué)模式相比，該模式強(qiáng)調(diào)教學(xué)效果、課堂效率和教學(xué)收益［3］，同時(shí)在課堂教學(xué)過程中強(qiáng)調(diào)師生參與式互動和反饋的有效教學(xué)模式。BOPPPS教學(xué)模式將教學(xué)過程分成課前導(dǎo)入、學(xué)習(xí)目標(biāo)、前測、參與式學(xué)習(xí)、后測、總結(jié)六個(gè)模塊。其六個(gè)模塊相互獨(dú)立，前后銜接，有的放矢，共同為實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)而服務(wù)。整個(gè)教學(xué)過程中充分體現(xiàn)了“教學(xué)相長”，突出強(qiáng)調(diào)了以學(xué)生為主體，師生互動參與式學(xué)習(xí)，具備很強(qiáng)的實(shí)踐性和適應(yīng)性。

二、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教學(xué)現(xiàn)狀和改革的必要性

在數(shù)學(xué)的歷史發(fā)展過程中出現(xiàn)了3次重大的飛躍．第一次飛躍是從算數(shù)過渡到代數(shù)，第二次飛躍是常量數(shù)學(xué)到變量數(shù)學(xué)，第三次飛躍就是從確定數(shù)學(xué)到隨機(jī)數(shù)學(xué)．現(xiàn)實(shí)世界的隨機(jī)本質(zhì)使得各個(gè)領(lǐng)域從確定性理論轉(zhuǎn)向隨機(jī)理論成為自然；而且隨機(jī)數(shù)學(xué)的工具、結(jié)論與方法為解決確定性數(shù)學(xué)中的問題開辟了新的途徑．因此可以說，隨機(jī)數(shù)學(xué)必將成為未來主流數(shù)學(xué)中的亮點(diǎn)之一．概率論作為隨機(jī)數(shù)學(xué)中最基礎(chǔ)的部分，已經(jīng)成為高校中很多專業(yè)的學(xué)生所必修的一門基礎(chǔ)課．但是教學(xué)過程中存在的一個(gè)主要問題是：學(xué)生們往往已經(jīng)習(xí)慣了確定數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)思維方式，認(rèn)為概率中的基本概念抽象難以理解，思維受限難以展開．這些都使得學(xué)生對這門課望而卻步，因此如何在概率論的教學(xué)過程中培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)隨機(jī)數(shù)學(xué)的思維方法就顯得十分重要．本文擬介紹我們在該課程教學(xué)中的改革嘗試，當(dāng)作引玉之磚。

1將數(shù)學(xué)史融入教學(xué)課堂在概率論教學(xué)過程當(dāng)中，介紹相關(guān)的數(shù)學(xué)史可以幫助學(xué)生更好地認(rèn)識到概率論不僅是“陽春白雪”，而且還是一門應(yīng)用背景很強(qiáng)的學(xué)科．比如說概率論中最重要的分布——正態(tài)分布，就是在18世紀(jì)，為解決天文觀測誤差而提出的．在17、18世紀(jì)，由于不完善的儀器以及觀測人員缺乏經(jīng)驗(yàn)等原因，天文觀測誤差是一個(gè)重要的問題，有許多科學(xué)家都進(jìn)行過研究．1809年，正態(tài)分布概念是由德國的數(shù)學(xué)家和天文學(xué)家德莫弗（DeMoivre）于1733年首次提出的，德國數(shù)學(xué)家高斯（Gauss）率先將正態(tài)分布應(yīng)用于天文學(xué)研究，指出正態(tài)分布可以很好地“擬合”誤差分布，故正態(tài)分布又叫高斯分布．如今，正態(tài)分布是最重要的一種概率分布，也是應(yīng)用最廣泛的一種連續(xù)型分布．在1844年法國征兵時(shí)，有許多符合應(yīng)征年齡的人稱自己的身高低于征兵的最低身高要求，因而可以免服兵役，這里面一定有人為了躲避兵役而說謊．果然，比利時(shí)數(shù)學(xué)家凱特勒（A.Quetlet，1796—1874）就是利用身高服從正態(tài)分布的法則，把應(yīng)征人的身高的分布與一般男子的身高分布相比較，找出了法國2000個(gè)為躲避征兵而假稱低于最低身高要求的人[1]．在大學(xué)階段，我們不僅希望通過數(shù)學(xué)史在教學(xué)課堂中的呈現(xiàn)來引起學(xué)生學(xué)習(xí)概率論這門課程的興趣，更應(yīng)側(cè)重讓學(xué)生通過興趣去深入挖掘數(shù)學(xué)史，感受隨機(jī)數(shù)學(xué)的思想方法[2]．我們知道概率論中的古典概型要求樣本空間有限，而幾何概型恰好可以消除這一條件，這兩種概型學(xué)生理解起來都很容易．但是繼而出現(xiàn)的概率公理化定義，學(xué)生們總認(rèn)為抽象、不易接受．尤其是概率公理化定義里出現(xiàn)的σ代數(shù)。

這一概念：設(shè)Ω為樣本空間，若Ω的一些子集所組成的集合?滿足下列條件：（1）Ω∈?；（2）若A∈?，則A∈?；（3）若∈nA?，n=1,2,??，則∈∞=nnA∪1?，則我們稱?為Ω的一個(gè)σ代數(shù)．為了使學(xué)生更好的理解這一概念，我們可以引入幾何概型的一點(diǎn)歷史來介紹為什么要建立概率的公理化定義，為什么需要σ代數(shù)．幾何概型是19世紀(jì)末新發(fā)展起來的一種概率的計(jì)算方法，是在古典概型基礎(chǔ)上進(jìn)一步的發(fā)展，是等可能事件的概念從有限向無限的延伸．1899年，法國學(xué)者貝特朗提出了所謂“貝特朗悖論”[3]，矛頭直指幾何概率概念本身．這個(gè)悖論是：給定一個(gè)半徑為1的圓，隨機(jī)取它的一條弦，問：

弦長不小于3的概率為多大？對于這個(gè)問題，如果我們假定端點(diǎn)在圓周上均勻分布，所求概率等于1/3；若假定弦的中點(diǎn)在直徑上均勻分布，所求概率為1/2；又若假定弦的中點(diǎn)在圓內(nèi)均勻分布，則所求概率又等于1/4．同一個(gè)問題竟然會有3種不同的答案，原因在于取弦時(shí)采用了不同的等可能性假定！這3種答案針對的是3種不同的隨機(jī)試驗(yàn)，對于各自的隨機(jī)試驗(yàn)而言，它們都是正確的．因此在使用“隨機(jī)”、“等可能”、“均勻分布”等術(shù)語時(shí)，應(yīng)明確指明其含義，而這又因試驗(yàn)而異．也就是說我們在假定端點(diǎn)在圓周上均勻分布時(shí)，就不能考慮弦的中點(diǎn)在直徑上均勻分布或弦的中點(diǎn)在圓內(nèi)均勻分布所對應(yīng)的事件．換句話講，我們在假定端點(diǎn)在圓周上均勻分布時(shí)，只把端點(diǎn)在圓周上均勻分布所對應(yīng)的元素看成為事件．現(xiàn)在再來理解σ-代數(shù)的概念：對同一個(gè)樣本空間Ω，?1={?,Ω}為它的一個(gè)σ代數(shù)；設(shè)A為Ω的一子集，則?2={?,A,A,Ω}也為Ω的一個(gè)σ代數(shù)；設(shè)B為Ω中不同于A的另一子集，則?3={?,A,B,A,B,AB,AB,BA,AB,Ω}也為Ω的一個(gè)σ代數(shù)；Ω的所有子集所組成的集合同樣能構(gòu)成Ω的一個(gè)σ代數(shù)．當(dāng)我們考慮?2時(shí)，就只把元素?2的元素?，A，A，Ω當(dāng)作事件，而B或AB就不在考慮范圍之內(nèi)．由此σ代數(shù)的定義就較易理解了．2廣泛運(yùn)用案例教學(xué)法案例與一般例題不同，它有產(chǎn)生問題的實(shí)際背景，并能夠?yàn)閷W(xué)生所理解．案例教學(xué)法是將案例作為一種教學(xué)工具，把學(xué)生引導(dǎo)到實(shí)際問題中去，通過分析和討論，提出解決問題的基本方法和途徑的一種教學(xué)方法．我們可以從直觀性、趣味性和易于理解的角度把概率論基礎(chǔ)知識加以介紹．我們在講條件概率一節(jié)時(shí)可以先介紹一個(gè)有趣的案例——“瑪麗蓮問題”：十多年前，美國的“瑪利亞幸運(yùn)搶答”

電臺公布了這樣一道題：在三扇門的背后（比如說1號、2號及3號）藏了兩只羊與一輛小汽車，如果你猜對了藏汽車的門，則汽車就是你的．現(xiàn)在先讓你選擇，比方說你選擇了1號門，然后主持人打開了剩余兩扇門中的一個(gè)，讓你看清楚這扇門背后是只羊，接著問你是否應(yīng)該重新選擇，以增大猜對汽車的概率？

由于這個(gè)問題與當(dāng)前電視上一些娛樂競猜節(jié)目很相似，學(xué)生們就很積極地參與到這個(gè)問題的討論中來．討論的結(jié)果是這個(gè)問題的答案與主持人是否知道所有門背后的東西有關(guān)，這樣就可以很自然的引出條件概率來．在這樣熱烈的氣氛里學(xué)習(xí)新的概念，一方面使得學(xué)生的積極性高漲，另一方面讓學(xué)生意識到所學(xué)的概率論知識與我們的日常生活是息息相關(guān)的，可以幫助我們解決很多實(shí)際的問題．因此在介紹概率論基礎(chǔ)知識時(shí)，引進(jìn)有關(guān)經(jīng)典的案例會取得很好的效果．例如分賭本問題、庫存與收益問題、隱私問題的調(diào)查、概率與密碼問題、17世紀(jì)中美洲巫術(shù)問題、調(diào)查敏感問題、血液檢驗(yàn)問題、1992年美國佛蒙特州州務(wù)卿競選的概率決策問題，以及當(dāng)前流行的福利彩票中獎(jiǎng)問題，等等。

1引言

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)作為一門實(shí)用性很強(qiáng)的課程，被國內(nèi)高等院校的數(shù)學(xué)、統(tǒng)計(jì)、經(jīng)濟(jì)與管理等院系設(shè)置為基礎(chǔ)課，并且隨著時(shí)代的發(fā)展越來越受到重視.概率統(tǒng)計(jì)涉及的我們生活的許多方面，早在十七世紀(jì)概率統(tǒng)計(jì)就已經(jīng)在金融保險(xiǎn)業(yè)等方面有所應(yīng)用.隨著社會的發(fā)展，又在醫(yī)學(xué)、交通、人口統(tǒng)計(jì)、金融、微商等方面被頻繁應(yīng)用，并且這些方面有些急需解決的問題也進(jìn)一步促進(jìn)了概率統(tǒng)計(jì)的發(fā)展，使得更多的學(xué)者投入到新工具新理論的研究中，讓統(tǒng)計(jì)學(xué)體系更加完善.這門課程雖然比較抽象，但作為老師要做到讓這門課具體化、生活化并且與實(shí)際相結(jié)合.目前，大多院校都比較重視理論的講授而輕視實(shí)際的應(yīng)用，老師應(yīng)當(dāng)做到在讓學(xué)生對學(xué)習(xí)概率統(tǒng)計(jì)產(chǎn)生濃厚興趣，掌握其基本概念、理論和方法的同時(shí)，又能從實(shí)際問題出發(fā)借助概率統(tǒng)計(jì)方法進(jìn)行分析和解決.隨著科學(xué)技術(shù)的進(jìn)步和大數(shù)據(jù)的出現(xiàn)，數(shù)據(jù)的結(jié)構(gòu)越來越復(fù)雜，數(shù)據(jù)量越來越龐大，大數(shù)據(jù)所涉及的各行各業(yè)時(shí)刻影響著我們的生活、工作與學(xué)習(xí).在大數(shù)據(jù)時(shí)代，數(shù)據(jù)就是價(jià)值，因此大數(shù)據(jù)的研究受到了政府、各大高?？蒲袡C(jī)構(gòu)以及企業(yè)的高度重視.當(dāng)前，大數(shù)據(jù)所涉及的內(nèi)容和方面過于廣泛，具有規(guī)模性、多類型性、處理快速性、預(yù)測性和潛在性等幾個(gè)特征，所以必然要求學(xué)生需要掌握一定的數(shù)據(jù)處理能力，其中統(tǒng)計(jì)軟件的操作是必備的處理數(shù)據(jù)的技能.因此種種這些現(xiàn)實(shí)必將促使概率統(tǒng)計(jì)課程需要在教學(xué)方式上做一些改變.在大數(shù)據(jù)時(shí)代，靈活學(xué)會概率統(tǒng)計(jì)課程可以讓我們迅速地發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)內(nèi)部的規(guī)律，可以在大而雜的數(shù)據(jù)中尋找到需要研究的方向，從而加快對數(shù)據(jù)的分析處理，進(jìn)而更快地進(jìn)入主題[1].在分析大數(shù)據(jù)時(shí)我們總想著找到數(shù)據(jù)之間的聯(lián)系，那么如果我們用概率統(tǒng)計(jì)中對隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律的演繹和歸納思想來處理數(shù)據(jù)，推演數(shù)據(jù)的演變趨勢會帶來很多的好處.在大數(shù)據(jù)中運(yùn)用概率統(tǒng)計(jì)模型會讓理論更結(jié)合實(shí)際，便于學(xué)生更加容易掌握這門課程.在本文中作者根據(jù)自己多年的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)和對大數(shù)據(jù)的認(rèn)識，基于時(shí)展和學(xué)生自身發(fā)展的需要，也促使這門課需要提出一些新的教學(xué)方法，提出新的建議.

2對傳統(tǒng)的教學(xué)模式和考核機(jī)制進(jìn)行調(diào)整

2.1把趣味和生活引進(jìn)課堂教學(xué).概率統(tǒng)計(jì)是對隨機(jī)現(xiàn)象中隱藏的客觀規(guī)律進(jìn)行分析研究的學(xué)科，相比較其他的數(shù)學(xué)學(xué)科，會更加抽象、更加難以理解.久而久之學(xué)生對其學(xué)習(xí)會失去興趣，這將不利于后面專業(yè)課的學(xué)習(xí)，因此需要通過有趣的教學(xué)方法激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動力和興趣.每一個(gè)新知識點(diǎn)講解的第一節(jié)課往往都是學(xué)生印象最深的，會對學(xué)生以后的學(xué)習(xí)以及是否能熟練掌握產(chǎn)生極大的影響.教師可以在課程開始前將本節(jié)內(nèi)容的發(fā)展史引進(jìn)課堂，使課堂教學(xué)歷史化.所謂“磨刀不誤砍柴工”，在講授新內(nèi)容之前讓學(xué)生全面了解概率統(tǒng)計(jì)的發(fā)展史，簡要介紹概率統(tǒng)計(jì)大家的生平，通過一些趣味故事介紹他們對本節(jié)內(nèi)容的研究過程，讓學(xué)生在短時(shí)間里通曉古今，對概率統(tǒng)計(jì)發(fā)展史有一定了解，激發(fā)學(xué)生對知識的探索的認(rèn)識，開闊學(xué)生眼界，對以后的學(xué)習(xí)有著引導(dǎo)意義[2].比如在講解概率的定義時(shí)，可以告訴學(xué)生在概率論的發(fā)展歷史上，曾有過概率的古典定義、幾何定義、頻率定義以及主觀定義等.借助具體實(shí)例展示這些定義各適用于對應(yīng)的隨機(jī)現(xiàn)象中的概率，進(jìn)而引出如何給出適用于一切隨機(jī)現(xiàn)象的概率的一般性定義的探索性問題.1900年數(shù)學(xué)家希爾伯特提出要建立概率的公理化定義解決這個(gè)問題，1933年蘇聯(lián)科學(xué)家柯爾莫哥洛夫首次提出了概率的公理化定義，這個(gè)定義概括了上述幾種具體概率定義的共同特性，提煉出概率的基本性質(zhì)，是概率論發(fā)展史上的里程碑[3].學(xué)生了解這個(gè)發(fā)展歷史就會對概率的公理化定義容易理解，不會覺得怪異抽象.在大數(shù)據(jù)時(shí)代下學(xué)習(xí)概率統(tǒng)計(jì)應(yīng)該讓課堂更接近實(shí)際生活，選取生活中的真實(shí)案例和實(shí)際生活情景，讓學(xué)生真實(shí)感受到概率統(tǒng)計(jì)與我們的生活形影不離，無處不在.解決這些實(shí)際問題，可以培養(yǎng)他們的理論應(yīng)用意識，增強(qiáng)分析處理問題的能力，同時(shí)也加強(qiáng)了他們的主動性和自覺性.酒吧街頭打賭，運(yùn)動員射擊比賽，彩票銷售中心等都可以拿來作為課堂案例.比如隨機(jī)相遇的兩個(gè)人的生日在同一天的可能性有多大？我們知道兩個(gè)人生日的所有的可能性搭配有365×365種，其中生日相同有365種可能性，那么這兩個(gè)人的生日相同的可能性約為0.0027，這幾乎是不可能發(fā)生的.但是假如在人數(shù)超過50的一次聚會或者一個(gè)班級里，存在兩個(gè)人生日相同的概率又是多少呢？這里可以跟學(xué)生講一個(gè)美國數(shù)學(xué)家伯格米尼在觀看世界杯足球賽時(shí)在臺上隨意挑選了22位觀眾，結(jié)果有兩位觀眾的生日相同，通過計(jì)算當(dāng)人數(shù)達(dá)到64人時(shí)，至少有兩人生日相同的概率已經(jīng)達(dá)到99.7%，這幾乎已經(jīng)是必然事件了，教師可以在班里現(xiàn)場做一個(gè)驗(yàn)證，進(jìn)一步向?qū)W生解釋小概率累積效應(yīng)，帶動課堂氣氛.2.2改變教學(xué)方法和內(nèi)容.2.2.1教學(xué)手段和學(xué)習(xí)方式比較單一.傳統(tǒng)的教學(xué)方式比較單一固化，學(xué)生的學(xué)習(xí)處于被動的地位，一支粉筆一塊黑板的教學(xué)模式已經(jīng)不能完全滿足這門課的需要和社會的發(fā)展，課堂需要生動活潑的教學(xué)情形.教學(xué)過程的枯燥乏味很容易使學(xué)生失去學(xué)習(xí)熱情，所以教學(xué)方式的改變已迫在眉睫.首先不再讓多媒體和計(jì)算機(jī)只是用來播放視頻和課件，要真正的發(fā)揮其作用.大數(shù)據(jù)時(shí)代下講授概率統(tǒng)計(jì)內(nèi)容更多的是理論在實(shí)際中如何運(yùn)用，所以當(dāng)講授完理論的證明后要跳脫出來，向?qū)W生解釋定理揭示了哪些問題，定理在實(shí)際中有什么用.數(shù)理統(tǒng)計(jì)那一部分因?yàn)樯婕按罅繑?shù)據(jù)的計(jì)算問題，計(jì)算量過于龐大所以無法進(jìn)行具體計(jì)算，所以這一部分的難度在于學(xué)生如何通過統(tǒng)計(jì)軟件得到結(jié)果，因此老師應(yīng)該更多一些的投入時(shí)間向?qū)W生介紹統(tǒng)計(jì)軟件的使用.在概率論部分要求學(xué)生可以通過統(tǒng)計(jì)軟件進(jìn)行一些概率實(shí)驗(yàn)，例如用計(jì)算機(jī)重復(fù)實(shí)驗(yàn)蒲豐投針問題，去驗(yàn)證π的值，這是個(gè)很有趣的實(shí)驗(yàn)，相信學(xué)生都會在自己動手實(shí)驗(yàn)后對事件的概率這一知識點(diǎn)的理解會更加深刻.所以計(jì)算機(jī)，多媒體帶來的圖像、模型展示，對實(shí)際問題處理的過程會更加易于學(xué)生理解、掌握基本知識，同時(shí)也提高了學(xué)生處理實(shí)際問題的能力.2.2.2教學(xué)內(nèi)容過于注重理論.教學(xué)內(nèi)容比較單一，高校里概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)這門課主要由概率論基礎(chǔ)知識和統(tǒng)計(jì)知識兩部分組成.在實(shí)際教學(xué)中，教師往往是只對理論及其證明進(jìn)行介紹，并未更多的解釋理論的實(shí)用性，其間雖有部分習(xí)題，但也都是把實(shí)例簡化后很容易就能得到結(jié)果的問題.整個(gè)課時(shí)的安排也是概率論所花時(shí)間多，而數(shù)理統(tǒng)計(jì)只用很少的時(shí)間來介紹部分統(tǒng)計(jì)內(nèi)容.這樣的教學(xué)內(nèi)容很容易讓學(xué)生對概率統(tǒng)計(jì)這門課產(chǎn)生誤解，認(rèn)為這門課就是在學(xué)習(xí)公式、定理和證明，從而忽略了概率統(tǒng)計(jì)本身的實(shí)用性和具體解決實(shí)際問題的思想，這是很不合理的，在大數(shù)據(jù)一年強(qiáng)過一年的趨勢下應(yīng)該提高學(xué)生解決實(shí)際問題、分析數(shù)據(jù)的能力.為此應(yīng)優(yōu)化教學(xué)內(nèi)容，教師帶著學(xué)生先瀏覽涉及概率統(tǒng)計(jì)的實(shí)際問題的風(fēng)景，而后再進(jìn)入概率統(tǒng)計(jì)的天堂，就使得各種概念和理論有了有源之水、有本之木.強(qiáng)化概率統(tǒng)計(jì)思想與方法的認(rèn)識，增加統(tǒng)計(jì)軟件的操作學(xué)習(xí)，具體體現(xiàn)在以下幾方面.①在不影響課程完整性的條件下，可以適當(dāng)?shù)慕档屠碚摰碾y度，增加趣味性和實(shí)用性，便于學(xué)生更容易理解基本概念.②為加強(qiáng)學(xué)生運(yùn)用統(tǒng)計(jì)知識處理數(shù)據(jù)的能力，增加描述性統(tǒng)計(jì)部分內(nèi)容，能夠進(jìn)行數(shù)據(jù)的頻數(shù)分析、集中趨勢分析、離散程度分析、分布以及一些基本的統(tǒng)計(jì)圖形[4].③融入統(tǒng)計(jì)建模思想和數(shù)學(xué)建模思想，提高學(xué)生的團(tuán)隊(duì)協(xié)作的精神和根據(jù)實(shí)際問題建模的動手能力，建立概率統(tǒng)計(jì)案例庫，以案例引入知識點(diǎn)，將統(tǒng)計(jì)和數(shù)學(xué)建模的思想融入概率統(tǒng)計(jì)的教學(xué)當(dāng)中，使學(xué)生對概率統(tǒng)計(jì)知識的運(yùn)用受到實(shí)訓(xùn)和培養(yǎng).近幾年來，全國數(shù)學(xué)建模比賽試題中頻繁出現(xiàn)涉及概率統(tǒng)計(jì)知識的題目，統(tǒng)計(jì)建模大賽選題形式實(shí)行開放性的數(shù)據(jù)分析模式.例如：2015年的B題“互聯(lián)網(wǎng)+”時(shí)代的出租車資源配置，2013年D題公共自行車服務(wù)系統(tǒng)，2011年A題的城市表層土壤重金屬污染分析.2018“東證期貨杯”全國大學(xué)生統(tǒng)計(jì)建模大賽初賽通過直接在線發(fā)放選題數(shù)據(jù)撰寫初賽論文.這些試題都需要參賽者對數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，要求參賽者懂得概率統(tǒng)計(jì)的知識，所以將統(tǒng)計(jì)和數(shù)學(xué)建模的思想融入概率統(tǒng)計(jì)的教學(xué)過程當(dāng)中，有助于提高學(xué)生的數(shù)據(jù)分析和建模能力[5].④開設(shè)實(shí)驗(yàn)課，將SPSS、SAS、R等統(tǒng)計(jì)軟件引入到教學(xué)中.2.3改變考核內(nèi)容.除了教學(xué)方法、手段、教學(xué)內(nèi)容需要改變外，學(xué)生的考核標(biāo)準(zhǔn)是否合理也是需要深思的.傳統(tǒng)的方式是通過課后作業(yè)情況和最終的考試成績來判斷教學(xué)成果和學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，由于現(xiàn)在學(xué)生作業(yè)的抄襲情況嚴(yán)重，老師如果僅通過學(xué)生上交的作業(yè)完成情況來判斷學(xué)生的學(xué)習(xí)情況是不準(zhǔn)確的，因此改變考核機(jī)制是有必要的.教師應(yīng)采取更靈活的考核方式，由考試成績、論文成績、實(shí)踐成績、平時(shí)成績這四部分來確定學(xué)生的最終成績.增加課程論文這一項(xiàng)的好處有很多，它不僅可以促使學(xué)生在完成的過程中復(fù)習(xí)所學(xué)知識，而且能夠培養(yǎng)學(xué)生自己查閱資料和歸納總結(jié)的能力、應(yīng)用分析問題能力、組織和表達(dá)能力等.實(shí)踐成績包括實(shí)驗(yàn)課的表現(xiàn)，參加建模比賽等活動的成績.平時(shí)成績包括聽課效果、作業(yè)的完成、課堂的隨機(jī)性提問、隨機(jī)小測驗(yàn)等.通過這寫靈活多樣的考核方式得到最終的成績就比較全面，可以更好地了解學(xué)生的學(xué)習(xí)情況和教師教學(xué)成果，也符合大數(shù)據(jù)時(shí)代背景下應(yīng)用型人才的培養(yǎng)需求，也最終達(dá)到了統(tǒng)計(jì)學(xué)人才培養(yǎng)的目標(biāo).

3結(jié)束語

隨著科學(xué)技術(shù)的進(jìn)步，大數(shù)據(jù)有著一年強(qiáng)過一年的趨勢，深入到各個(gè)領(lǐng)域，其分析應(yīng)用服務(wù)于社會越來越多的領(lǐng)域.在此背景下，培養(yǎng)應(yīng)用型人才是高校非常重要的教學(xué)目標(biāo).概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的靈活運(yùn)用將會給大數(shù)據(jù)的研究帶來新的發(fā)展和有效的利用.上述是作者結(jié)合自身的教學(xué)體會與實(shí)踐所提出的一些建議.總之，教學(xué)既包括教也包括學(xué)，在教與學(xué)的過程中需要根據(jù)不同的學(xué)生和不同的課程不斷地改變教學(xué)方式和教學(xué)內(nèi)容，因材施教，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情.時(shí)代的快速發(fā)展變化，也必將促使我們在教學(xué)過程中要不斷地完善教學(xué)手段和方法，改進(jìn)考核方式，致力于提高學(xué)生的綜合素質(zhì).

摘要：該文闡述了在概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程教學(xué)中引入“雨課堂”的必要性，并給出了雨課堂在該課程中的應(yīng)用，指出了“雨課堂”在實(shí)際應(yīng)用中存在的問題，并針對問題提出了相應(yīng)的改進(jìn)措施，以期能為類似課程教學(xué)模式提供必要的參考。

關(guān)鍵詞：雨課堂；微信；課程教學(xué)；教學(xué)模式

隨著互聯(lián)網(wǎng)的發(fā)展和移動通信終端的全面普及，新的教學(xué)方法和教學(xué)模式不斷涌現(xiàn)，傳統(tǒng)教學(xué)模式將面臨嚴(yán)峻的挑戰(zhàn)。以智能手機(jī)為代表的移動通信終端已然成為每一個(gè)人的標(biāo)配，這使得消費(fèi)者的生活及學(xué)習(xí)方式發(fā)生了巨大的變化。根據(jù)中國互聯(lián)網(wǎng)絡(luò)信息中心（CNNIC）報(bào)告所顯示，截至2018年6月，我國手機(jī)網(wǎng)民規(guī)模達(dá)8.02億，移動互聯(lián)網(wǎng)的快速發(fā)展促使多種信息手段被運(yùn)用到課程教學(xué)中[1-6]，不斷挑戰(zhàn)傳統(tǒng)教學(xué)方式。另一方面，大學(xué)課堂“低頭族”現(xiàn)象日益嚴(yán)重，學(xué)校通過設(shè)置手機(jī)收納袋等措施將學(xué)生的注意力轉(zhuǎn)移到課堂，但收效甚微。為此，如何保障課堂教學(xué)效率和提高課堂教學(xué)質(zhì)量已成為日益關(guān)注的熱點(diǎn)。

1雨課堂主要功能及引入雨課堂的必要性

雨課堂是由學(xué)堂在線與清華大學(xué)在線教育辦公室共同研發(fā)的智慧教學(xué)工具[4-5]。雨課堂主要包括教師端和學(xué)生端，教師端會根據(jù)課程大綱對課程進(jìn)行設(shè)置并制定相應(yīng)的課程計(jì)劃，利用平臺收集與整理課程資源。同時(shí)，教師可通過手機(jī)對教學(xué)進(jìn)行控制。學(xué)生端支持學(xué)生在終端登錄建立的互動課堂并實(shí)現(xiàn)實(shí)時(shí)接收老師推送的學(xué)習(xí)資源[6]。概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程是長江師范學(xué)院財(cái)經(jīng)學(xué)院開設(shè)的一門專業(yè)基礎(chǔ)課，共64學(xué)時(shí)，主要針對經(jīng)濟(jì)統(tǒng)計(jì)、財(cái)務(wù)管理以及金融工程等專業(yè)開設(shè)。采用理論授課為主，同時(shí)輔以課堂小實(shí)驗(yàn)。由于授課章節(jié)內(nèi)容較多，教學(xué)課時(shí)稍顯不足，部分學(xué)生基礎(chǔ)較差，對數(shù)學(xué)相關(guān)課程學(xué)習(xí)興趣不濃厚。為了提高學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，增加師生互動、提高教學(xué)質(zhì)量，學(xué)校引入了雨課堂這一智慧教學(xué)工具。雨課堂能夠?qū)?fù)雜的信息技術(shù)手段融入微信和PPT中，讓課堂互動通過移動終端等完成且保持在線狀態(tài)。雨課堂與微信相結(jié)合主要基于以下兩方面原因：首先，微信擁有龐大的用戶群體，受眾面廣。隨著信息技術(shù)的發(fā)展，網(wǎng)絡(luò)流量不再是用戶擔(dān)心的問題，微信獲取即時(shí)通信服務(wù)的成本較低，能夠快速地發(fā)送免費(fèi)語音、視頻圖片等信息，因而吸引了大量的消費(fèi)群體。其次，雨課堂可通過微信公眾號與手機(jī)綁定，這樣教師便可利用手機(jī)分享教材內(nèi)容、PPT等資料，從而實(shí)現(xiàn)在線互動，將學(xué)生的注意力通過手機(jī)轉(zhuǎn)向課堂，發(fā)揮了手機(jī)在教學(xué)中的優(yōu)勢[6]。

2應(yīng)用：基于雨課堂的教學(xué)模式設(shè)計(jì)借鑒已有研究

當(dāng)今世界幾乎找不到不應(yīng)用概率論(包括數(shù)理統(tǒng)計(jì))的實(shí)際生活部門和應(yīng)用領(lǐng)域。正如法國大科學(xué)家拉普拉斯(P-SLaplace,1749~1827)早在100多年前所斷言的:“生活中絕大多數(shù)最重要的問題實(shí)質(zhì)上是概率問題”。而最近十幾年來,經(jīng)濟(jì)學(xué)數(shù)學(xué)化的最大成就就是金融經(jīng)濟(jì)學(xué)大量應(yīng)用概率統(tǒng)計(jì),出現(xiàn)了一個(gè)全新的學(xué)科———數(shù)理金融學(xué),對它的研究方興未艾,21世紀(jì)肯定是它進(jìn)一步蓬勃發(fā)展的時(shí)代。

一、數(shù)理金融學(xué)的發(fā)展與現(xiàn)狀

所謂“金融經(jīng)濟(jì)學(xué)”在國際上通常指研究證券交易的經(jīng)濟(jì)學(xué),是一個(gè)極為引人矚目的學(xué)科。證券交易是市場經(jīng)濟(jì)中最重要的交易?，F(xiàn)在,人們都知道,經(jīng)濟(jì)的晴雨表不再是那些年度的產(chǎn)值、產(chǎn)量之類的統(tǒng)計(jì)公報(bào),而是那些每天都出現(xiàn)在報(bào)紙、電視廣播中的股市行情、期貨牌價(jià)、證券指數(shù)等等。金融經(jīng)濟(jì)學(xué)所研究的中心問題正是各種有價(jià)證券(股票、債券、公債、票據(jù)等)及其衍生物(期權(quán)、期貨等)的定價(jià)問題。長期以來,有關(guān)有價(jià)證券及其衍生物(如期權(quán))的合理定價(jià)問題一直懸而未決。對證券內(nèi)是否有一種內(nèi)在的定價(jià)機(jī)制一直是金融經(jīng)濟(jì)學(xué)界爭論的問題。早年在金融經(jīng)濟(jì)學(xué)中數(shù)學(xué)的作用也只局限于一些簡單的統(tǒng)計(jì)分析。60年代數(shù)理經(jīng)濟(jì)學(xué)家的介入,才徹底改變了這種面貌。

現(xiàn)代數(shù)理經(jīng)濟(jì)學(xué)的創(chuàng)始人通常認(rèn)為是1874年提出一般均衡理論的瓦爾拉斯(Walras.L)。他把亞當(dāng)•斯密的經(jīng)濟(jì)思想具體化為“供需均衡”和“價(jià)格體系”。瓦爾拉斯一開始就對他的理論采用了數(shù)學(xué)形式。但由于當(dāng)時(shí)缺乏合適的數(shù)學(xué)工具,他未能確立一般經(jīng)濟(jì)均衡的存在性。從1874年起,許多數(shù)學(xué)家和經(jīng)濟(jì)學(xué)家都對一般均衡存在的嚴(yán)格論證作了不懈的努力。一直到1954年阿羅(Ar-row.K.)和德布魯(Debreu.C.)采用了徹底的數(shù)學(xué)公理化方法和凸集理論、不動點(diǎn)定理等數(shù)學(xué)工具,提出一般均衡的數(shù)學(xué)模型及其存在證明,這個(gè)問題才被認(rèn)為得到徹底解決。他們兩人因此先后獲得諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)。

70年代,德布魯又從微分拓?fù)渲械凝嫾尤R—霍普夫(Poincare-Hopf)定理出發(fā),提出了“正則(非病態(tài))經(jīng)濟(jì)”的概念,并指出“絕大多數(shù)”的經(jīng)濟(jì)是正則經(jīng)濟(jì),而正則經(jīng)濟(jì)的均衡總存在,且只有有限個(gè)。至此,傳統(tǒng)的一般均衡理論發(fā)展到頂峰。一般均衡的理論框架雖然是強(qiáng)有力的,但它的弱點(diǎn)也是非常明顯的。

它把整個(gè)經(jīng)濟(jì)問題歸結(jié)為一個(gè)均衡價(jià)格體系的問題實(shí)在是遠(yuǎn)離了現(xiàn)實(shí)。對于金融經(jīng)濟(jì)學(xué),首先要解決的是給出證券定價(jià)的數(shù)學(xué)機(jī)理理論。60年代末,金融經(jīng)濟(jì)學(xué)的數(shù)學(xué)模型在莫迪利亞尼(Modigliani)、米勒(Miller)、馬科維茨(Markowitz)、夏普(Shar-pe)等人的研究下形成了良好的基礎(chǔ)。這些數(shù)理經(jīng)濟(jì)學(xué)家后來都因此獲得了諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)。1973年,金融經(jīng)濟(jì)學(xué)出現(xiàn)了重大突破,那就是布萊克(Black)和斯科爾斯(Scholes)為期權(quán)定價(jià)(Optionpricing)提出了今天極為著名的布萊克—斯科爾斯公式。期權(quán)就是某個(gè)時(shí)刻以某種確定的價(jià)格購買某種證券的權(quán)利。如果把期權(quán)買賣可能的得益與無風(fēng)險(xiǎn)的短期銀行利息作比較,就能將期權(quán)定價(jià)問題歸結(jié)為一個(gè)隨機(jī)微分方程的解,從而可導(dǎo)出一個(gè)與實(shí)際相吻合的計(jì)算公式。這項(xiàng)重大的突破激發(fā)起無數(shù)有關(guān)證券定價(jià)的新研究,尤其是在數(shù)學(xué)理論上大大推動了人們對隨機(jī)控制與最優(yōu)停止問題的研究興趣。相當(dāng)多的研究立即被投入應(yīng)用,它使人們能通過數(shù)學(xué)分析來抓住投資時(shí)機(jī)與不確定性之間錯(cuò)綜復(fù)雜的關(guān)系。這就給金融市場帶來了直接而深刻的變化,從而宣告了數(shù)理金融學(xué)(亦稱金融數(shù)學(xué))的誕生。